扩域的性质及应用+文献综述(2)
在F中适当选择H就能使F=G(H).例如，当H=F时总有F=G(H).但是为了得到F，实际上一般来说H不必取这么大.
例如，设F= G=Q,则只需取H= 就有G( )=F了。
现在假定F=G(H).因为在H中任意取定的有限个元素 后，一切形如 其中 如果令 = ，则这个域可以简记为G( )=G .它是添加有限个元素于G所得到的扩域，而F=G(H)就是一切这样的子域的并集。这一事实说明，研究G(H)可归纳为研究添加有限个元素与G所得到的域G .
设G 、F是两个域，且G F，如果F是二文的，那么就说域F是G的二次扩域.
如复数域C是实数域R上的二次扩域，而域Q( )则是有理数域Q上的二次扩域.
性质1：对任意a∈F,存在 ∈F，使a+ ∈G,a ∈G.
证明：显然单位元1∈G F,把1扩充为F的一个基1， ，则对任意a∈F存在α，β∈G,使a=α+β .
又因为F是域，所以 ∈F，于是存在A,B∈G,使 =A+B .
令 =（α+βB）-β .则 ∈F，容易验证a+ ∈G,a ∈G.
易见，这里的 扮演的角色相当于复数C上的共轭复数，因此我们不妨成为a在F上的共轭元素。
性质2：设a,b是F的任意元素，则
（1）当G的特征为2，并且存在 ∈F ， G ，但是 ∈F时有 =a。
（2）在不适合（1）的条件的情形下， =a当且仅当a∈G .
证明：G的特征为2，指的是任意a∈G，a+a=2a=0.不难证明，在G的特征为2时对任意a,b∈G,a=-a, = .
任取G的一个基1， ，记 =A+B ，A,B∈F并且记a=α+β .b= . =（α+βB）-β , .
（1）在此情形下，基向量 可取 ，这样 =A∈G又因为G的特征为2.所以
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