摘  要： 本文概括了几种特定积分因子存在的充要条件以及常见的一些求解积分因子的方法。 除了有课本上的一些简单方程的求法我还列举了一些特殊形式微分方程的求法, 例如对伯努利方程的求解。82199

毕业论文关键词: 微分方程; 积分因子; 通解; 恰当微分方程

Integrating Factor in Solving Ordinary Differential Equations

Abstract: This article summarizes the necessary and sufficient conditions for the existence of several factors specific integration and common methods for solving integral factor in addition to a few simple equations method for finding the textbook I have also listed some method for finding special form of differential equations, such as Bernoulli solving equations。

Keywords: Differential equation; Integral factor; General solution; Exact differential equation

目    录

摘要 1

引言 2

1。常微分方程的概念以及恰当微分方程。3

1。1常微分方程基本概念 3

1。2恰当微分方程 3

2。积分因子的存在性 4

2。1积分因子的概念 4

2。2几种积分因子存在的充要条件 5

3。积分因子在常微分方程求解中的应用 7

3。1积分因子在某些简单的常微分方程求解中的应用 7

3。2积分因子在复杂的常微分方程求解中的应用 13

参考文献 19

致谢 20

积分因子在常微分方程求解中的应用

引言 

对于每一个数学系的同学来说, 数学分析这门课的地位就相当于我们在九年义务教育学习中语文和数学的位置。 这是一门很是深邃的学科, 是数学家们潜心研究的一门学科, 有很多分支包含在其中。 例如被我们熟知的常微分方程, 随着第二次工业, 科技发展的脚步紧随着世界的发展的大潮。 大多数关于理工科的领域都会涉及到常微分方程, 因此它的计算方法在数学领域受到了极大的重视。 历年来, 大量的数学研究者都在探索着新的简便的计算方法, 这样做的目的就是为了方便一些实际问题的解决。 然而在解决问题的过程中会遇到各种困难, 方程的形式稍微变化那就意味着必须有一种新的解法。 在常微分方程的求解的这条路上我相信我们会越走越远, 它在各领域中会起到很重要的作用．

目前数学研究者在这方面已经有了突出的成果。 文[1]是一本常微分方程启蒙教材, 包含了关于常微分方程的基础知识以及我们要掌握的必备的计算技能。文[2-4]求解积分因子的几种方法, 并且通过例子来进一步证明了这些方法的可靠性。 文[5-8]则是得出一种能解比较复杂的微分方程的方法, 例如伯努利方程的求解。 文[10]是对一些特殊形式方程的求法, 如和等, 并且通过实际的例子证明了它的可行性。

在大量阅读了相关的资料后, 我进行了归纳和并且概括性的总结。 我把自己用的教科书和已有的论文联系起来, 把知识柔和到一起，做到条理清晰，参照课本上已有的内容对相应问题进一步加深。 本文第一部分介绍了常微分方程以及恰当微分方程。 第二部分就提出积分因子这一概念以及它存在的充分必要条件, 阐明了我们为什么要求积分因子。 第三部分就是本文的重要部分积分因子的求法。 对于简单常微分方程, 我们可以用观察方法或公式法求解常微分方程, 如伯努利方程, 本文还对其方法作了详细介绍。 文中采用大量例题更直观的阐述积分因子的求法, 再利用积分因子对方程进行最终求解。