在我们实际生产和科研中出现的函数是多种多样的，在实际问题中经常遇到这种问题，虽然可以判断所考虑的函数在闭区间上存在且连续，但我们仅仅可以通过实验观测获取其在某些个点处的函数值。不难发现，仅仅利用这张函数值表来分析函数的性质，或者直接由表求出其他一些点上的函数值是非常困难的。有时虽然可以找出函数的解析式，但可能由于结构非常复杂，不是很简单直观，在使用时不是很方便。针对这种情况，我们可以构造一个简单函数 ，作为的近似，或者做出一条通过这些离散点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工[9-11]。

本论文主要有三部分，分别是基本概念的介绍、牛顿插值算法在matlab中的实现以及其在实际上的应用。

1。 基本概念及原理

1。1牛顿插值多项式及差商

函数在不同的两点处的一阶差商这样定义：

对一阶差商再求差商称为函数 在 互异)点的二阶差商：

一般的，阶差商的差商叫做函数在个互异点 的 阶差商：

由以前的知识，lagrange插值多项式的插值基函数

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公式过于繁琐，要计算的东西很多，而且会出现很多重复计算。我们这样想，由于任一个次多项式都可以表示成

个多项式线性组合而成，那么如果我们考虑这个多项式可以作为一组插值基函数。很明显，

多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数。设插值节点为，对应的为函数值 ，插值条件为，首先设出插值多项式具有如下形式

应满足插值条件

如果再继续下去，我们得到的待定系数的形式将更复杂。所以，lagrange插值虽然方便易算，但若要增加一个新的节点，公式中的所有基函数都需重新计算，这样牛顿插值算法就应运而生了。

由差商的结果我们可以知道，想要使所构造多项式的方法具有期望的特点，一个好的计算系数的方法是有必要的。下面的差商表可以实现的计算。

表1差商表

按照上面方法来构造插值多项式的过程就叫牛顿插值法。依据插值多项式的唯一性容易得出，牛顿插值法的截断误差与lagrange插值法的相同，即

，

但也可以表示成差商形式。引入记号

，

这是因为以为节点的多项式

，

从而

。

于是的截断误差可表示为 

    捎带说明一下，由于牛顿插值多项式具有如下的性质：

，

可以看成是一种实用的估计的误差估算式。

差商的性质：

    (1)  差商与函数值的关系式可表示为：

，

其中是介于之间的某个数。 

(2) 差商与节点顺序无关。 

(3) 差商与导数之间关系：

，

其中是介于之间的某个数。接着比较牛顿法插值多项式两种不同的误差表达式得出

。

（4）由性质（3）知，重节点差商表达式：文献综述

，

其中是介于之间的某个数。

（5)次多项式的一阶差商为次多项式，次多项式的阶差商是 。

（6）差商与差分之间的关系可表示为：

，

其中，等距节点的步长。

1。2牛顿插值算法

Lagrange插值公式结构简单且工整，理论易于分析操作。由插值基函数很容易得到符合要求的插值多项式，由上面的讨论知道Lagrange插值公式有弊端，即当插值节点的数目增加或在不同位置时，所有的插值基函数均要随之变化，进而导致整套插值公式也随之改变，这在实际计算中是会增加计算量的