(1-1)

其中，是易感类；是染病者类；都是参数且大于0的常数，表示每个染病者携带的最大传染值；表示自然死亡率；表示由疾病引起的死亡率；表示染病者的移出率；表示经过一段时间后一部分移出人群再次成为易感者；表示人的最大寿命；表示常数输入率，并认为全部输入人群都为易感人群；表示作用函数；表示一个染病者所携带的传染能力，满足

表示移出人群又成为易感人群所经历的时间，是关于的比例，然后设它是上非负的，满足

在文献[11]基础上，没有考虑因病死亡的比率，而后再令，并使用欧拉向后的差分方法上述模型处理为离散的并得到下面带有离散时滞的SI模型:

         (1-2)

其中是常数输入率，是自然死亡率，其余和模型(1-1)一样。

模型(1-2)中满足初值条件：

              (1-3)

其中，根据模型(1-2)不妨假设

1。2 SI传染病模型的基本性质 

    明显，模型(1-2)总是具有无病平衡点。然后能够求得基本再生数就为

若，除了外还有一个地方病平衡点，其中:

引理1-1 模型(1-2)中满足初值条件(1-3)是最终有解的。

证明:  设。然后将模型(1-2)的两个方程相加得

有

                                 (1-4)

再令

                                 (1-5)

迭代后得方程(1-5)有且只有一个的大于0的平衡点，并能得到这个平衡点是全局渐近稳定的，即 

则根据比较原理得到方程(1-2)是最终有解的。     文献综述                                                           

引理1-2 设模型(1-2)有解并且它还能够满足初值条件(1-3)，则对，都有。

证明: 根据初值条件(1-3)知。再根据引理1-1的假设知，代入到模型(1-2)的第二个方程中得到

由方程(1-4)得，令

。

容易得关于是单调递减的。由于关于单调递增。又因

，

所以存在唯一的，使

再根据模型(1-2)中的第1个方程能够得到

于是不妨记

则是关于的单调递增函数。由于就存在唯一的

。同理得到。最后用数学归纳法就得到，对于，都有。                                     

引理1-3 当。

证明: 根据模型(1-2)的第2个方程得

能看出，同理，若有，由模型(1-2)的第2个方程得到即。                                                             

1。3 平衡点的稳定性分析

定理1-1 若，那么在无病平衡点处就具有全局渐近稳定性。

证明：构造Lyapunov函数:来;自]优Y尔E论L文W网www.youerw.com +QQ752018766-

，

于是沿着模型(1-2)的解的增量

若，，的充要条件是。又因是模型(1-2)在的最大正向不变集，根据LaSalle-Lyapunov定理[2]可以得到是全局渐近稳定的。       

定理1-2  若，那么在地方病平衡点处就具有全局渐近稳定性。

证明:  由引理1-3知，当时，若，有，有。