设(MP)问题的可行域为：

 面对难度较大的约束优化问题，国内有非常多的研究人员从事这一类问题的研究。如华东师范大学的蔡海鸾至今仍在研究解决约束优化问题的智能算法，袁亚湘、孙文瑜等人主编的《最优化理论与算法》[15]一书，这本书至今仍受广大学者的热爱，华南理工大学的周育人利用强度值求解约束优化问题,还有中南大学的徐光祜等人建立了一个均衡模型[16]，并且很多学生的毕业论文也都是关于该问题的研究，如哈尔滨工业大学的严慧，对最优化问题有很深的研究。

    本论文主要分为四部分，分别是对惩罚函数法、可行方向法、拉格朗日-牛顿法和钻进算法这四种算法的研究，在每一部分中分别介绍了它们的基本思想和计算步骤以及运用MATLAB软件编写程序求解约束最优化问题。

1。惩罚函数法

1。1惩罚函数法的基本思想

惩罚函数法的基本思想就是构造出合适的带有参数的惩罚函数，然后目标函数加上惩罚函数就构造出了增广目标函数。 总的来说，惩罚函数法就是将约束最优化问题转化为无约束优化问题来求解。

(1)罚函数法论文网

考虑(MP)问题(1)，并假设出现的所有函数都是连续的，且定义域为。

首先选定一个很大的正数，构造一个如下的罚函数

然后利用构造一个增广目标函数

由于在可行点的值相同，而在不可行点处对应的值很大，所以相应的以增广目标函数为目标函数的无约束极小化问题

的最优解，同时也定是(MP)问题的最优解。

另外，对于(MP)问题还可选取罚函数如下：

相应地，构造出来的增广目标函数为

当充分大时，可将(MP)问题转换为无约束极小化问题

在实际计算中，选取大小合适的并不简单，为此，人们做了效果相同的一点改变：先选取一递增且趋于无穷的正罚参数列，此时，随着的增大，罚函数对每个不可行点施加的惩罚也逐步增大，这样，求解(MP)问题就将转换为求解无约束极小化问题

的解，其中

设当取定时，最优解为。

罚函数法计算步骤

第1步  选取初始点，罚参数列,给出检验终止条件的误差

，令；

第2步  构造罚函数，再构造(MP)的增广目标函数，即

；

第3步  选用某种无约束最优化方法，以点，求解

设得到最优解。 若以满足某种终止条件，停止迭代，输出 ,否则令,转第2步。

(2)内部惩罚法

内部惩罚法的基本思想是迭代点不可以超过在可行区域的边界，当迭代点靠近边界时，所构造的增广目标函数值就会大幅度增加，于是最优点就留在可行区域内部了。

对于不等式约束的(MP)问题:

当点从可行区域内部趋于边界时，至少有一个趋于零。因此函数

      或        就会无限增大,然而，我们的最终目的是逐步逼近的带约束条件的极小点，且这种极小点通常位于可行域的边界上，因此要在迭代过程中逐步减弱的影响。

为此，构建障碍函数为：当时，有

   或       利用构造出定义在上的增广目标函数

由的结构可知，当一个点从中向边界趋近时，的值将无限变大，无约束优化问题