摘 要：本文研究了欧氏空间正交变换的分类及其性质。给出欧氏空间及正交变换的定义,探讨正交变换的等价条件。在具体分析二维、三维欧氏空间正交变换类型后,推广到 维空间。由正交变换关于标准正交基下矩阵行列式的值,把正交变换分成旋转和镜面反射这两大类型。最后对有限维和无限维欧氏空间正交变换的性质作了详细说明。83615

毕业论文关键词：正交变换；欧氏空间；线性变换；镜面反射

The Classification and Nature of Orthogonal Transformation

Abstract: This article studies the classification and properties of the orthogonal transformation on Euclidean space。 Then Euclidean space is given and the definition of orthogonal transformation and discusses the orthogonal transformation of the equivalent conditions。 After specific analysis of 2d and 3d Euclidean space orthogonal transformation type, extended to n dimensional Euclidean space。 According to the orthogonal transformation of orthonormal basis under the value of the matrix determinant, the orthogonal transformation is pided into rotation and mirror reflection the two major types。 Finally, the properties of finite and infinite dimensional Euclidean space the orthogonal transformation has carried on the special instructions。

Keywords: Orthogonal transformation; Euclidean space; linear transformation; specular reflection

目    录

摘 要 1

引言 2

1。正交变换的基本理论知识 3

2。正交变换的分类 6

2。1 正交变换在二维欧氏空间中的分类 6

2。2 正交变换在三维欧氏空间中的分类 10

2。3 正交变换在维欧氏空间中的分类 12

3。正交变换的性质 13

3。1  维欧氏空间正交变换的性质 13

3。2  无限维欧氏空间中的正交变换的性质 15

结束语 18

参考文献 19

致谢 20

正交变换的分类与性质

引言正交变换是代数学重要研究对象之一；也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具；正交变换对研究数学的内部结构和实际应用起到了很大作用。在许多方面我们都用到了正交变换。尤其在物理中运动的独立性以及在处理数字图像和信号编码等方面。且它在信号和图像等许多领域具有很好的应用前景。文献综述

目前,许多文献都对正交变换的分类及其性质作了全面而深入的研究,文献[2]给出线性变换中向量角度的变化。文献[1][3]主要探讨正交变换在标准正交基下的矩阵,由这类矩阵的共同点,及二维、三维欧氏空间的分类。对维欧氏空间正交变换分成旋转和镜面反射变换。文献[4][5][7][9]给出几个充要条件,推广吴有为的定理并简化其证明,同时削弱张禾瑞的正交变换定理的条件。文献[6][8][10]讨论无穷维欧氏空间的旋转和镜面反射这两类变换；又探讨其性质。

本文首先探讨正交变换的基本理论知识,给出欧氏空间的概念、正交变换的定义及正交变换的等价条件。其次具体分析二维、三维、有限维欧氏空间中正交变换的分类。以及维、无穷维欧氏空间中正交变换的性质。

1。正交变换的基本理论知识

定义1  设线性空间在实数域中,定义一个二元实函数为中的函数,称作内积,记为,其性质如下：