定理3 设是函数的阶零点（极点），其张度为，则是的一阶零点，且张留数为:。其中:                   。

证明 如果是的阶零点，即，其中，且在点充分小的邻域（充分大）内解析，所以:。

因此，是的一阶零点，且其张留数:如果是的阶极点，即，其中，且在点充分小的邻域内解析，则:

因此，是的一阶零点，其张留数为:。

综上所述：其中：证毕。

2。2儒歇定理

    定理4 设为围线，和满足：

    它们在内解析，且连续到，

    在上，则

。

证明 由已知条件，与都在内部解析，且连续到，在上，，，要证明即可。但:

。

    故只要证明。记，它把变成平面上的曲线，但是，故不会饶平面原点，从而:

。

    例2 求的内根个数。来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

解 设，，则它们在内解析连续到，在上，，，，由儒歇定理可知:

。

    例3 判断在的几个根。

    解 设，，在内无根，根据儒歇定理，。

2。3亚纯函数

    定义1 设在区域内除了有极点外处处解析，则称为亚纯函数。

    定理5 设在环线上解析且不为零，在内部亚纯，则在内部只有有限个零点与极点。