在我学习数学的过程中,我意识到函数极值具有特别的意义,所以我在本文中先从函数极值的定义着手,探讨函数存在极值的充要条件,系统的研究一元函数、二元函数、多元函数极值的求法，分析函数极值的判定原理以及求解方法,从而运用更加简便的方法到实际运算中。

1。 一元函数极值的求解方法

1。1 一元函数极值定义

定义1假设函数可以定义在点的某个邻域内,若对该邻域内所有都有 ,则称为函数的极小值, 为 的极小值点; 若对该邻域内的所有都有,则称为函数的极大值, 为的极大值点。函数的极值包括极大值和极小值,极大值点和极小值统一称作函数极值点。

对定义的理解如下：

( 1) 自变量的取值为极值点,函数值为极值,二者不可以混为一谈。

( 2) 极值其实只是一个范围内的定义,我们先确定某个点的函数值,然后与该点附近其他点的函数值相比较过后取得的最大最小值称作极值,但是该值并不一定函数在可取区间内的最大最小值。

( 3) 函数的极大值可能比极小值小,所以,函数的极小值也可能比极大值大。

( 4) 区间内部才能取到函数极值,区间端点处取不到函数极值。

1。2一元函数极值的必要条件

假设函数在点 处可导, 并且为极值, 则可得是极值点, 所以,该条件对于函数极值而言必要不充分,因为若, 然而不一定是极值点。 例如, 对于函数,,但是在时,, 在时, 。 然而,所以不是极值点。

极值其实只是一个范围内的定义,我们先确定某个点的函数值,然后与该点附近其他点的函数值相比较过后取得的最大最小值称作极值,但是该值并不一定函数在可取区间内的最大最小值。一个函数在某个区间内的极大值和极小值并不是只有一个,同时函数的极大值与极小值并没有必然的联系,也就是说极小值不一定小于极大值,但是极值点必然是在区间内部取到的,不包括端点,但是对于最大、最小值而言,,可以取到函数区间包括端点在内的所有点。

若方程,则我们称为函数的驻点,所以若可导函数存在极值点,那么该点一定是驻点。 反过来说, 我们不能由该点是驻点推出它是极值点。比如说, 对于 而言, , 。 所以, 是的驻点,但不是的极值点。

1。3一元函数极值的第一充分条件

假设函数存在某个关于的可导邻域或者该点连续不可导,在这个邻域内若逐渐的从小于变到大于时,与相对应的导数符号也发生变化,那么就是函数的极值, 并且为极值点。如果的符号由正变成负,那么就是极大值点,就是的极大值; 如果的符号由负变成正,那么就是极小值点,就是的极小值。同时我们也可以得到在处取不到极值的情况: 存在可导点,但是导数在该点的符号相同。

例1求函数的极值。

解:运用第一充分条件来求解。

(1)判别定义域为;

(2)求出导数 

(3)求出在定义域内的全部驻点与不可导点(可能极值点):

令, 得到在定义域内的驻点为, , , 驻点将定义域分成了四个区间, 分别, , ,;

(4)判别不同定义区间内的符号:

通过求解可以得到, 在时, ;在时, ;在时, ;在时, 。 所以, 由一元函数极值的第一充分条件可以得到, 为极小值点, 与为极大值点。 

1。4一元函数极值的第二充分条件

假设函数在处存在二阶导数, 若, ,则为函数的极值点, 就是的极值, 并且当时, 是极小值点,那么就是极小值;当时, 是极大值点,那么就是极大值。

应当注意的是如果, 并且, 或者, 但是不存在, 对于这种情况的函数一元函数极值的第一充分条件也就成为了唯一的选择,第二充分条件变得不再适用。