牛顿迭代法对非线性方程的求解过程就是通过一次次的重复迭代来求出非线性方程的近似解。本文在上述文献的基础上，先简单介绍了非线性方程的定义，又总体介绍了牛顿迭代法的基本定理及优缺点，又进一步介绍了改进的牛顿迭代法，及其在实例中的应用，最后介绍了一些实例在计算机中的求解过程。

1。预备知识点

1。1线性方程和非线性方程

线性方程指的是方程中的未知数的最高次数不能超过一次的且未知数之间不能出现乘或除运算多项式方程．非线性方程则相反，在因变量和自变量之间存在平方、对数等非线性的关系，从而称之为非线性方程．由于非线性方程往往不能得到精确解，所以通过一些方法寻求近似解就变得非常重要．

1。2牛顿迭代法的基本定理论文网

我们知道，想要求出不存在求根公式的方程的精确解是很棘手的问题，而牛顿法的出现解决了这一难题．虽然求出的是方程的近似根而非精确解，但是在实际应用中也是非常重要的，所以说牛顿法是伟大且重要的求根方法．由于牛顿法简单且形式单一，所以在计算机编程中容易实现．

牛顿迭代法是一种近似方法，通过一定的步骤来把非线性的方程线性化来求解。具体方法是使用的点附近展开泰勒（Taylor）级

取其前两项用来作为非线性方程的近似代替，其中前两项为线性部分，则有：

。

设，则其解为：

。

重复以上步骤，将，同时将部分作为的近似代替．若其导数不等于0，则可以得到：

。

继续进行迭代，可以得到:

。

:

之后，过（，）做的切线：

。

求解此方程的解如下：

。

    以上可以看作牛顿迭代法的其中一个步骤，继续重复以上步骤即是牛顿迭代法的迭代过程．由于函数图像以及切线方程的这种特性，故又称牛顿迭代法为切线法．

1。3牛顿跌代法的优缺点

优点：牛顿法相对于其他求根方法计算量较小，因此较为简便．它的优势在于方程的单根具有平方收敛的特性，利用这个方法可以对复根和重根进行计算．由于其简单的特点常常能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。除此之外，牛顿法在计算机编程中实现后效率大大提高，应用范围更加广泛．

缺点：牛顿迭代法相对简单，但是不足之处在于要十分注意根据实际方程来选取初始值，因为初值的选取对方程接下来的收敛速度和结果及其重要．初始值的选取要和方程的根相差很小，否则可能导致收敛速度特别慢甚至不会得到收敛结果。而每次跌代都要计算函数值和微商值，所以其另一个缺点是计算量比较大，比较费时． 

2。修正的牛顿迭代法

求解非线性方程根的数值解法有很多种，牛顿法因其收敛快应用广的特点而获得广大学者们的注意，近些年来更是有大批学者研究探讨出改进的牛顿法。针对牛顿迭代法的不足，下面给出了牛顿法的修正形式，改善了牛顿法数据利用率较低的问题。由实验得出结果，修正后的牛顿法在收敛速度较经典的牛顿法相比具有一定的优势。下面利用牛顿迭代法和微分中值定理中，“中值点”的渐进性的特点，提出多点迭代法。 设满足下述条件：

将微分中值定理与牛顿迭代法进行结合，利用的特点，得出多点：

     因此，当a与b的位置相距甚小时有：