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对于时滞系统的稳定性分析较为困难，理论上这主要是由于时滞环节的存在使闭环特征方程具有无穷多个极点。近年来，虽然对时滞系统PID控制问题进行了大量研究，但大多都是针对低阶时滞对象。
2.4 Hermite-Biehler定理
线性时不变系统的稳定性定义为其特征多项式的根全部位于左半平面，即该多项式是Hurwitz多项式。Routh-Hurwitz判据是判断多项式是否为Hurwitz多项式的最著名的方法，但是控制系统的阶次越高，需要求解的Routh-Hurwitz矩阵中第一列大于零的不等式的数目越多，同时不等式中PID控制器的三个参数非线性关联，因此到系统超过三阶时在数学上求解将变得十分困难。Hermite-Biehler定理为判断一个多项式是否为Hurwitz多项式提供了充分必要条件，该方法只需要计算Hermite-Biehler定理定义的符号关系式的值是否等于多项式的最高次幂，就能判断其是否为Hurwitz多项式。
2.4.1 Hermite-Biehler定理
定义 1：设 为一 阶实多项式，其中 和 分别为 关于 的偶次幂和奇次幂部分。令 ，则 ，其中： ， 。记 ， ，…是 的正实零点， ， ，…是 的正实零点，且均按从小到大的顺序排列。
定理 1 ：Hermite-Biehler定理： Hurwitz稳定的充分必要条件是 和 的所有零点是实的而且相异的， 和 的符号相同，而且定义2.4.1里所述非负实零点满足以下交错性： ＜ ＜ ＜ ＜ ＜…
定理 2 ：广义Hermite-Biehler定理：设 为一 阶实多项式， 、 分别为其在左半平面和右半平面的根的个数，令 ；则有：
其中， ，
若 是Hurwitz多项式，则 ， 。即 。反之也成立。这样可以通过计算 来判断 是否为Hurwitz多项式。而 ，即 从 ， 的变化量，可从多项式的频率特性图上直接得出。从起点开始，频率特性曲线每穿越坐标轴一次， 变化 。
2.5 Kharitonov定理、广义Kharitonov定理
在经典的反馈控制系统中，控制器设计的研究是针对被控对象的精确模型而进行的,即在理论上忽略被控对象所具有的不确定性。
而在实际的工业生产领域中，我们所面临的绝大部分被控对象的参数往往是不确定的，由于辨识误差不可避免性，以及被控对象参数值会在不同程度上产生漂移，因此，我们所需要解决的问题便清晰地展现开来：如何设计一个PID控制器，使其在被控对象的参数在一定范围内变化时，仍可文持闭环系统的稳定，并具有较好的动态性。
2.5.1 Kharitonov定理
Kharitonov在区间多项式稳定性的研究工作在控制领域中具有划时代的意义，给鲁棒控制领域点亮了一盏明灯 。Kharitonov断言，保证几个特殊多项式的稳定性即可保证某一族多项式的稳定性。近年来，这一领域的研究引起了控制界极大的关注，研究人员在此基础上不断向前拓展，出现了许多有意义的成果 。
我们考虑 次实多项式
，
若它的根均在左半平面上，则称 为Hurwitz多项式，记为 。
考虑Kharitonov超矩形:
,
再记 为：
Kharitonov定理 ： ， 。
即区间多项式中的每一个多项式都有 个根在左半平面，有 个根在右半平面，当且仅当多项式 （ ；对于 ）的凸组合中的每一多项式有相同的跟分布。
综上所述，如果这四个Kharitonov多项式均为Hurwitz稳定的，则说明所设计的PID控制器能镇定整个区间函数族内的所有对象，满足鲁棒性要求。上面所提出的条件为判定PID控制器能否镇定整个区间函数族的充分条件，即能满足上述条件的PID控制器一定满足鲁棒性的要求。这为参数在有界区域内变动的被控对象的PID控制器设计提供了一种简便而又有效的方法。
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