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当 ＜ 时：
=
当 时：
当 ＞ 时， ；否则 。其中， ， 。
3.3.2 逆Nyquist曲线频率范围选取
实现 可能存在的稳定范围，首先需要确定决定系统稳定性的频率 。对于时滞对象的线性部分，一定存在足够大的 ，当 ＞ 时，时滞对象的线性部分 为单调增加的，所以逆Nyquist曲线 与坐标轴的位置有四种关系如图3.1所示，因此只需找到曲线 与坐标轴最后一个交点所对应的频率 ，然后考虑适当的裕量就能得到 。
图3.1 逆Nyquist图与坐标轴交点 (7)
(8)
令式(7)和式(8)的解分别为 和 ，找到这些解中最大的 ，考虑适当的裕量，取 。
当 ＜ ＜ ， ，则取 ， 。
当 在一、三象限时，可取 。
例1： ，确定 稳定范围。
图3.2 逆Nyquist曲线图
如图所示：A、B、C、D四条直线把 逆Nyquist曲线划分为若干区间，每个区间内 与逆Nyquist曲线交点数目是不变的。通过观察 可以发现，在直线A与直线C之间的区域， 与逆Nyquist曲线交点数最多，为3个。故可判断 稳定范围为：（-0.2,0.2092）。
特殊情况讨论：
例2： ，确定 稳定范围。
图3.3 逆Nyquist曲线图
在此例中， 稳定区域为（-0.09798,0.1113 ），但不包含“断点” ；在 时，交点数只有一个，因此不符合要求，应排除此点的干扰。
3.4 给定 下 平面的稳定域
当时滞系统式(5)是稳定时，根据引理2， 在 区间恰好有 个实根， 在 区间恰有 个实根 。其中：
令 ，有 ，因此，当 为偶数时， 为偶数；当 为奇数时， 为奇数。令：
将 代入 得：
设 的非负、相异实零点为 ＜ ＜ ＜ ＜ (＜ ) ，且令 ， ；对于 稳定的区间， 必大于或等于 ，有 ， 为非负整数 。
文献[9,13,14]表明当 给定时， 平面稳定区域是由一系列直线相交而成的凸多边形；结合式(6)得出这些边界线为：
（9）
其中， 即为式(5)的解，也就是固定 时，负的PID频率特性曲线 和逆Nyquist曲线 交点所对应的频率。
3.4.1 平面稳定范围的确定
由广义Hermite-Biehler定理 ，结合文献[14]有：
引理 4 为保证拟多项式(5)是稳定的，序列 必须满足：
(10)
由引理4可以得到满足式(12)的序列 ，序列 由 个元素 构成，形式为 。
根据序列 可以确定一组线性不等式为：
(11)
由式(11)可知， 表示边界直线 上方为稳定区间，反之下方为稳定区间。由满足式(10)的序列 即可确定 平面的稳定区域。
3.4.2 特殊情况的处理
将 代入式(5)，有：
由引理1可知，系统稳定时必有：
有如下结论：当 ，若 ，存在边界线 。
1) 当 ＞ ，若系统稳定，必有 ＞ ，则 ；
2) 当 ＜ ，若系统稳定，必有 ＜ ，则 。
当 ：
根据文献[13]，可知：
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