为了能够更加深入的了解，学习，解决矩阵类的各种题目。我把“矩阵可逆的若干判别方法”作为我大学的一个结业，来体现我大学学习的成果。我在图书馆，网站搜索查看了很多资料，希望能够学到更多矩阵逆的性质，定理以及判别的方法。下面就是我通过自己的学习和整理，总结了以下的一些矩阵可逆的判别方法和求矩阵的逆的方法。

在本文中的讨论均在数域p中讨论，如果没有特殊说明，所指矩阵均为n阶方阵。

2 有关矩阵可逆的定义和性质

2。1与矩阵可逆相关的基本概念

定义1。n级方阵A可逆的，如果有n级方阵B，使得ABBAE这里E是n级单位矩阵。并且B称为A的逆，记为BA1

定义2。设矩阵

中元素aij的代数余子式，矩阵

称为伴随矩阵。

定义3。向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩；矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩。行秩等于列秩，记为r(A)。定义4。如果n阶方阵A的行列式不等于0，则称A为非退化的，否则A称为退化矩阵。

定义5。对于矩阵A,如果数域P中有一个数，存在一个非零向量，使得A=,那么称为A的一个特征值。

定义6。矩阵的三类初等变换：

1)矩阵的行或者列互换位置;

2)矩阵的某行或者某列乘以一个非零的数；

3)矩阵的某行(列）的p倍加到另一行（列）上。来自优I尔Y论S文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

定义7。如果矩阵A可由矩阵B经过有限次的初等变换得到，则矩阵A与矩阵B等价。

定义8。由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

2。2基本定理

定理1。矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是A是非退化的，而

定理2。A是一个sn矩阵，如果P是ss可逆矩阵Q是nn可逆矩阵，那么秩

（A）=秩（PA）=秩（QA）。定理3。如果线性方程组

的行列式dA0,那么线性方程组有解，并且解是唯一的。

定理4如果齐次方程组

的系数矩阵的行列式A0，那么它只有零解。

定理5。n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积。

推论。可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化为单位位矩阵。

2。3可逆矩阵的性质

性质1。若矩阵A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。性质2。若矩阵A可逆，则A1亦可逆，且(A1)1A。性质3。若矩阵A可逆，数不等于0，则A可逆，且

(A)11A1



性质4。若矩阵A和B都可逆，则矩阵AB也可逆，且

(AB)1B1A1

注：若矩阵A与B为同阶矩阵，且A与B均可逆，而AB矩阵不一定也可逆。性质5。若矩阵A可逆，则AT也可逆，且(AT)1(A1)T。

1 1

性质6。若矩阵A可逆，则有A A 。性质7。矩阵A与它的伴随矩阵有着相同的可逆性，A可逆，则A*可逆，且

3 矩阵可逆的基本判别方法

3。1定义判别法

若ABE（或者BAE）,则A可逆且A1B。论文网

例1。已知方阵A满足A2A2E0,则A1= ,(A2E)1 。解:由A2A2E0得A(A2E)2E,及