Ansys冲击内压作用下非金属材料管道的强度问题分析(3)
2 理论解析解推导
2．1 理论模型的建立
引言中已经提到过非金属管道可以看成力学中“厚壁圆筒”模型。假定管道材质均匀，符合连续性假设、不可压缩条件。忽略材料硬化效应，我们大致按理想弹性问题求解。
如图2.1，内径为a外径为b的厚壁圆筒受均匀冲击内压 作用，这实质上是一个瞬态振动问题。我们将这个简化成平面应变问题，假定内压不沿轴向变化且圆筒长度比径向尺寸大得多。
图2.1 图2.2
我们从一般的平面问题推导平衡方程。如图2.2，在域内任一点（ ）取出一个微分体，考虑基本平衡条件。微分体是由夹角为 的两径向线和距离为 的两环向线围成。考虑通过微分体形心的 向，列出三个平衡条件：
由第一个条件可得：
其中可取
上式中一阶微量相互抵消，略去三阶微量，保留到二阶微量，得
同理由第二第三个平衡条件可得
然后再根据圆筒的轴对称特性 ，且 ，式中 为材料密度， 为微元体径向位移。可将上述平衡方程简化为
(1-1)
问题的边界条件为
(1-2)
问题初始条件为
(1-3)
即厚壁圆筒在受冲击内压作用之前处于静止状态。
2．2 理想弹性解
假设开始阶段冲击内压并不是很大，厚壁圆筒的应力应变关系均满足理想弹性情况，则应力和应变满足的物理方程为
(2-1)
其中 为材料抗拉压弹性系数， 为材料泊松比。
而应变和位移的几何关系为
(2-2)
将(1-1)、(2-1)、(2-2)联立求解得到关于位移 的微分方程
(2-3)
再将(2-1)、(2-2)代入到边界条件(1-2)得到
(2-4)
现在(2-3)、(2-4)、(1-3)几式满足微分方程的定解条件，我们根据数理方程知识试着解(2-3)这个微分方程。