摘 要：本文主要从经典力学和量子力学出发，对谐振子的状态描述，运动频率，能级， 基态能量和波函数等方面进行对比讨论研究。充分体现经典谐振子和量子谐振子之间的区 别与联系，揭示了微观粒子与宏观粒子两者运动规律的差异。此外，利用谐振子模型的应 用讨论多维谐振子的能级和简并度，并归纳出一般形式，并研究带电粒子在电场和磁场中 运动的能量本征值和波函数的相关问题，对其近似解和严格解加以说明。90880

毕业论文关键词：经典谐振子，量子谐振子，多维谐振子，能级，简并度，电谐振子

Abstract：In this paper, I fully discuss the state description, motion frequency, energy level, ground state energy and wave function of harmonic oscillator from classical mechanics and quantum mechanics。 It fully reflects the difference between classical harmonic oscillator and quantum harmonic oscillator, and it reveals the difference of motion between microscopic and macroscopic  particles。  In  addition,  the  energy  level  and  degeneracy  of     multi-dimensional

harmonic oscillators are discussed by using the application of harmonic oscillator model。 The related problems of energy and wave functions of charged particles in electric and magnetic fields are studied。 The approximate solutions and strict solutions are explained。

Keywords ： classical harmonic oscillator, quantum harmonic oscillator, multidimensional harmonic oscillator, energy level, degeneracy, charged harmonic oscillator

目 录

1 前言 3

2 经典谐振子与量子谐振子的比较 4

2。1 运动频率 4

2。2 能级 4

2。3 波函数 6

3 量子力学谐振子模型的应用和举例 7

3。1 �维各向同性谐振子的能级和简并度 7

3。2 利用线性谐振子求解相关问题 9

结 论 12

参 考 文 献 13

致 谢 14

1 前言

线性谐振子的问题不论是在经典力学和还是在量子力学中都是一个备受关注的问题， 随着科学技术的日益进步，有关简谐振动的研究有了长足的发展，它不仅在量子原理上非 常典型且相当重要，另外，应用非常广泛，涉及分子、固体物理、量子场论和量子光学等 领域。例如固体中原子的振动、分子场中分子的振动以及晶格的振动等[1]。

在经典力学中，谐振子的问题可以看成是质量为�的弹簧振子在弹性力� = −��的作 用下运动，其中�是弹簧的劲度系数，�是弹簧振子任意时刻�离开平衡位置的位移。由于 弹簧的作用，物体将在O点两侧作往复运动[2]。

它的运动规律� = �sin �� +