这种因式分解法在19世纪80年代提出的超对称量子力学(supersymmetricquantummechanics)中又得到了进一步发展。其实可以认定,大部分的束缚态问题,它都是有阶梯解法的。运用阶梯解法时,一般只涉及解一个简单的一阶微分方程,而且它的本征值谱也更加容易求得。同时,运算就会代数化,兼并来源也会更加清楚。来自优I尔Y论S文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

大家学习量子力学以及解题时,时常会看到阶梯算符的影子,但并没有系统地去学习这个知识点,在课堂学习中只是作为一个工具,或者在学习谐振子时被提到。而在实际解题过程中会发现,在使用阶梯算符以后,解题过程确实被大大简化了。但是大家常常会感到,教科书中阶梯算符的引入比较突兀,似乎完全是凭借熟练以后的计算经验以及技巧而得来的。所以我们做题时用到阶梯算符时并没有固定的思路,有时候能通过做过的题来进行类比解答,但大多数时候则思路比较混乱,不能把握解题要点。因此,阶梯算符的运用是一个很有意思的研究方向。这一研究对于以后做题有很大帮助,也能为之后学习量子力学打下坚实的基础。所以,对于上述出现的问题,本文介绍了构造阶梯算符的较为通用的简便方法,可以为解题提供一个定向的思路,不至于做题时没有方向。同时,本文也系统整理并探讨了阶梯算符的几种主要应用,并且在运用较多的谐振子问题上举了例题,以强化理解与运用。

2 阶梯算符的构造方法

这里证明一个构造阶梯算符的定理:如果G为厄米算符F的本征值的阶梯算符,则符合下列对易关系

F,G=λG(2。1)

且λ为非零实常数[2]。证明:设ψ

是力学量算符F的本征函数,相应的本征值为fn

,因为G为

阶梯算符,则Gψn也是F的本征函数,相应的本征值为fn+λ,λ为非零实常数。于是有

Fψn=fnψn

FGψn=fnGψn+λGψn=(fn+λ)Gψn

F,Gψn=(fn+λ)Gψn-Gfnψn=λGψn(2。3)即F,G=λG,证毕。

下面解决给定厄米算符F后,如何根据算符G满足的关系式(2。1)得出G的具体形式的

问题。由两个厄米算符的对易式是反厄米的,即

+

F1,F2=-F1,F2(2。4)

厄米算符与反厄米算符的对易式是厄米的,即

+

F,A=F,A(2。5)

以及式(2。1),可以看出G既不是一个厄米算符,也不是反厄米算符。根据,任意一个线性算符L总可以分解为一个厄米算符与一个反厄米算符的叠加,我们可以把阶梯算符G分解

为一个厄米算符与一个反厄米算符的和,即

G=F1+iβF2(2。6)其中,F1和F2是厄米算符,β为非零实常数,所以

F,G=F,F1+iβF,F2(2。7)论文网

于是,由式(2。1)和式(2。7)可知,

G=F,F1/λ+iβF,F2/λ(2。8)上式中,右边第一项为反厄米算符,第二项为厄米算符,对照(2。8)式和(2。6)式可知

F,F1=iβλF2=iαF2(2。9)

F,F2=-iλF1/β=-iγF1(2。10)

其中

α=βλ,γ=λ/β(2。11)两者均为非零实常数。通过式(2。9)(2。10)(2。11),就可以确定F1、F2和β,把它们代入(2。6)式就可以求出阶梯算符G。

可以看出,当能够找到满足式(2。9)(2。10)的算符F1和F2时,力学量算符F本征值的阶梯算符G一般就会存在。

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量子力学中线性谐振子的研究

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