2 经典电磁学中电子在磁场中的运动

1865年，麦克斯韦完成了电磁光的统一，建立了经典电磁学。电子在经典电磁场中受到电场的电场力和磁场的洛伦兹力作用[3-4]。匀强磁场中，如电子以某一初速度垂直进入，将在洛仑兹力作用下将做匀速圆周运动。

如果质量为m，带电量为e的电子以初速度 v ⃗垂直进人磁感应强度为B ⃗的匀强磁场中，则该电子将受到洛仑兹力F ⃗为

F ⃗ = e v ⃗ ×B ⃗            （1）

如果带电粒子的质量m很小，忽略重力影响，可认为该带电粒子只受到洛仑兹力的作用。由牛顿第二定律：

F ⃗ = m a ⃗=e v ⃗ × B ⃗ （2）

即：

m (dv ⃗)/dt = e（v ⃗× B ⃗） （3）

对上式进行积分运算

 m v ⃗ = e（r ⃗ ×B ⃗）+ c ⃗ 

图1  带电粒子进入匀强磁场

由初始条件：当v ⃗  = (v_0 ) ⃗时( r) ⃗ = (r_0  ) ⃗(如图1所示)，则c ⃗= 0 ，所以：

        m v ⃗ = e（r ⃗ ×B ⃗）

由公式：

（A ⃗×B ⃗）×(C ) ⃗=（A ⃗·(C ) ⃗）B ⃗－（B ⃗·(C ) ⃗）A ⃗ （4）

(4) 式右叉乘 B ⃗   来自优O尔P论R文T网WWw.YoueRw.com 加QQ7520`18766                                                                        

m（v ⃗×B ⃗） = e（r ⃗×B ⃗）×B ⃗ = e（r ⃗·B ⃗）B ⃗－e（B ⃗·B ⃗）r ⃗

由于 r ⃗ 总是与( B) ⃗  互相垂直： r ⃗·B ⃗=0，所以

m（v ⃗×B ⃗） =－eB2 r ⃗ （5）

                  r ⃗ = m/(eB^2  )（B ⃗×v ⃗） （6）

r2 = r ⃗·r ⃗= （m/(eB^2  )）2（B ⃗×v ⃗）·（B ⃗×v ⃗）

由（A ⃗×B ⃗）·（(C ) ⃗×D ⃗） =（A ⃗·(C ) ⃗）（B ⃗·D ⃗）－（A ⃗·D ⃗）（B ⃗·(C ) ⃗）知

（B ⃗×v ⃗）·（B ⃗×v ⃗） =（B ⃗·B ⃗）（v ⃗·v ⃗）－（B ⃗·v ⃗）（v ⃗·B ⃗）

由于 B ⃗·v ⃗ = 0 

∴ r2 = （m/(eB^2  )）2 B2 v 2  = (m^2 v^2)/(e^2 B^2  ) （7）

（6）&pide;（7）整理得：

－ (mv^2)/r^2   r ⃗ = e（v ⃗×B ⃗） （8）

∴ m (a ) ⃗=  － (mv^2)/r^2     r ⃗

即加速度a ⃗的值：

a ⃗ =  － v^2/r^2    r ⃗  （9）

此式表明，加速度的方向始终与r ⃗的方向相反；其大小为a =  v^2/r，所以在垂直B ⃗的平面内电子在以半径r作匀速圆周运动，洛伦兹力垂直v ⃗，洛伦兹力不作功，能量保持不变。这一点我们将在后续深入讨论。

3 量子力学下电子在磁场中的运动状态

量子力学中，由于测不准原理，粒子没有经典状态下的轨道，我们用态函数表示粒子的状态。带电粒子在磁场中的运动状态，朗道早在30年代就已经对Hall效应作了量子力学的讨论。在朗道规范下，强磁场中二维电子的能量是象谐振子那样分立的，并且能级具有高度的简并。最近几十年，由于实验上发现量子Hall[5]效应和分数量子Hall效应[6-7]，引起众多理论物理工作者针对二维电子气进行了一系列的研究[7-9]。在对称规范下，在粒子数表象中，能够推导出并推导出了电子数波函数的一般解析形，并且通过利用构造算子理论，定义共轭算子，在坐标表象中用代数方法推导了电子波函数的一般解的两种不同形式等价表示，并给出了其朗道能级。