3。1 电子的波函数论文网

    考虑非相对论下，电磁场中单电子的哈米顿量H就是电子动能和势能之和： 

H=1/2m (P ⃗-e/c A ⃗ )^2-M ⃗_S B ⃗+eφ （10）

其中P ⃗是动量，M ⃗_S 为磁矩，B ⃗为磁感应强度，φ为电势，A ⃗为磁势。

若不计自旋，研究沿OZ轴向的匀强磁场，取对称规范

A_x=-1/2 By,A_y=1/2 Bx （11）

于是 电位移矢量D与磁失势A ⃗进行点乘

D ·A ⃗=0,         A ⃗·D=-1/2 B(y ∂/∂x-x ∂/∂y) (12)

则有

      H=1/2m(P_x^2+(e^2 B^2)/(4c^2 ) x^2+P_y^2+(e^2 B^2)/(4c^2 ) y^2+eB/c xP_y-eB/c yP_x) (13)

利用构造算子理论，定义新算子

Q=1/2 y-c/eB P_x,          P=eB/2c x+P_y   

二者满足Heisenberg对易关系[Q,P] = iћ ，属于共扼算子。根据运动的独立性原理，令

H_x=(P_y^2)/∂μ+(e^2 B^2)/(8〖μc〗^2 ) x^2=(P_x^2)/∂μ+1/2 μω_x^2 x^2 （14）

H_y=(P_x^2)/∂μ+(e^2 B^2)/(8〖μc〗^2 ) y^2=(P_y^2)/∂μ+1/2 μω_y^2 y^2 （15）

显然，Hx, Hy为分别描述沿OX和OY轴向运动的一维线性谐振子，其特征频率ω_(x  )= ω_y = eB/2μc 两者迭加结果，描述强磁场中单电子的平面曲线运动，轨道角动量沿OZ轴向，且是量子化的[11]。

    在极坐标系中，哈米顿量（式(13)）为

          H(ρ,φ)=h^2/2μ[1/ρ(∂/∂ρ(ρ ∂/∂ρ)]-h^2/(2〖μρ〗^2 )  ∂^2/(∂φ^2 )+1/2 μω_x^2 ρ^2       （16）

其中第一项为径向运动的动能，第二项为转动的动能-h^2/(∂〖μρ〗^2 )  ∂^2/(∂φ^2 ) = L^2/(∂〖μρ〗^2 ) ，其角动量只有Z轴分量，第三项就是二维各向同性谐振子势场。于是，其能量本征方程为：

{-h^2/2μ[1/ρ  ∂/∂ρ(ρ ∂/∂ρ)]-h^2/(2〖μρ〗^2 )  ∂^2/(∂φ^2 )+1/2 μω_x^2 ρ^2}ϕ(ρ,φ)=Eϕ(ρ,φ)       （17）

利用分离变量法可得Φ（φ）的解及R(ρ)所满足的径向方程：

   Φ（φ）=1/√2π e^imφ,m=0,±1,±2,······                      （18）

(d^2 R(ρ))/(dρ^2 )+1/ρ  (dR(ρ))/dρ+[2μE/h^2 -(μ^2 ω_x^2)/h^2  ρ^2-m^2/ρ^2 ]R(ρ)=0 （19）

令

〖 k〗^2=2μE/h^2 ,    x^2=(μω_x)/h,    R(ρ)=(μ(ρ))/√ρ （20）

则（19）式可写为文献综述

(d^2 μ(ρ))/(dρ^2 )+[k^2-x^4 ρ^2+(1/4-m^2 )  1/ρ^2 ]u(ρ)=0 （21）

分析μ(ρ)在ρ→0时的渐近行为，可把μ(ρ)写成形如：μ(ρ)=e^(〖-1/2 α〗^2 ρ^2 )的形式， 

μ(ρ)=e^(-1/2 α^2 ρ^2 ) ∑_(v=0)^∞▒a^v  ρ^(s+v)  (a_0≠0) （22）

式中s≥0 ，以保证 R(ρ)=(μ(ρ))/√ρ 在(ρ)=0处为有限。把此式代入（21）式并通过比较系数可得：

[s(s-1)+(1/4-m^2 )] a_0=0,    [s(s+1)+(1/4-m^2 ) a_1=0]