摘 要：本文在惯性系的拉格朗日方程的基础上，通过引入广义惯性势，建立完整约束系统非惯性系拉格朗日方程，并将它应用于研究转动参照系下耦合摆的问题。我们发现参照系转动角速度将影响耦合摆的小振动，只有当转动角速度小于 ，耦合摆才能作小振动。此外我们还研究了耦合摆的运动规律，发现有三种典型的振动模式：同频同相振动；同频反相振动；拍振动。我们希望这些研究结果能对多自由度耦合问题的求解有所帮助。  55167

毕业论文关键词：耦合摆，拉格朗日方程，转动参照系，小振动 

Abstract：In this article, by introducing the generalized inertial potential, a complete restraint system with non-inertial Lagrange equations is established, based on the Inertial Lagrange equations. And it is applied to study the problem of coupled pendulum in rotating reference system. We found that the angular velocity of the rotating reference system will affect the small vibration of coupling pendulum. Only when the rotation angular velocity is less than , coupled pendulum can make small vibrations. In addition, we also studied the movement of coupled pendulum. And found three typical vibration mode: The same frequency vibrations; The invert frequency Vibration; Beat vibration. We hope that these results can help to solve the problem of multi-degree of freedom coupled problem.

Keywords：Coupling pendulum，The Lagrange's equations ，Rotating reference frame，Small vibration

目录

1 引言4

2 拉格朗日方程的推导4

2.1 惯性系中拉格朗日方程4

2.2 非惯性系中拉格朗日方程7

3 转动参照系中的耦合摆问题9

3.1 模型9

 3.2 结果和讨论11

 结　论15

 参考文献16

 致谢17

1 引言

在力学问题的处理过程中，大多数是以牛顿运动定律来求解的。但是以牛顿运动定律处理质点组问题时，对质点组中每个质点均需建立微分方程，当系统很大时，我们就需计算许多的微分方程组。如果质点组还受到某种约束，因为约束反力是不知道的，还需加上约束方程，这样使得问题的求解更加复杂。18世纪，伴随着工业革命的迅速发展，在工程技术上急切需要解答这样一类有约束的多质点构成的质点组问题。

1788年，拉格朗日出版一本重要论著“分析力学”。这本书中，没有一张图，他没有借助几何思想，全部采用数学分析的思想来解答力学题目。分析力学回避了力、速度、加速度、动量等这些矢量及其运算，从分析系统的能量出发探讨物体的机械运动规律。分析力学中所涉及的量都是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等等[1-4]。这给我们处理问题带来极大的好处。最初，拉格朗日用s个单独变量，即广义坐标，来表达力学系统的运动规律，类似于牛顿运动方程，是二阶常微分方程。后来，哈密顿提出：如果用广义坐标和广义动量作为独立变量，方程的数量虽然由s个变到2s个，增加了一倍，但微分方程组却由二阶变为一阶，这给我们求解带来方便。我们把这组方程称为哈密顿正则方程。哈密顿正则方程在理论物理各研究领域都有非常重要意义。下面我们就从牛顿运动定律出发，给出分析力学中最基本的方程---拉格朗日方程[1]。

2  拉格朗日方程的推导源.自|优尔,:论`文'网www.youerw.com

2.1惯性系中拉格朗日方程

由于牛顿运动定律只适用于惯性系，我们考虑惯性系下的一个完整约束的力学系统，力学系统中有n个质点，可以用s个广义坐标来表示这个完整系，从而给出广义坐标表示的动力学方程。