1.2简谐振动

物体在与位移成正比的恢复力作用下，以平衡位置为中心，在其附近做往复的正弦规律运动。在简谐振动情况下物体的位置用x表示，t表示时间，物体的运动方程可以表示为[2]：

                        （1-1）

式中A为位移x的最大值，称为振幅，它表示物体振动的强度；ωn表示每秒中振动的幅角增量，称为角频率，也称圆频率； 称为初相位。频率f = ωn/2π表示每秒中振动的周数；它的倒数，周期T=1/f，表示振动一周所需的时间。振幅A、频率f（或角频率ωn）、初相位，称为简谐振动三要素。以平衡位置为原点开始振动时其振动方程微分形式如下[2]： 

                           （1-2）

式中 为弹簧的刚度， 和 可由 时的初始位置 和初始速度 决定，即

但ωn只由系统本身的特征m和k决定，与外加的初始条件并无关系，故ωn亦称固有频率[2]。

对于简谐振子，其动能和势能之和 为唯一常量，也就是说在整个系统中，总机械能守恒。在振动的过程中，动能和势能不断的相互转化[2]。

1.3非线性动力学

恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。虽然线性振动理论早已相当完善,在各行各业上也得到了广泛和卓有成效的应用，但是在面对实际问题中，总有一些情况是无法用线性理论解释的。一般来说，线性模型只适用于小运动范围，超出了这个范围，如果继续按照线性问题进行处理，不仅在量上会产生较大误差，而且有时还会发生质上的变化，这也就使得非线性振动的研究迫在眉睫。非线性系统运动的微分方程是非线性的，不能在一味的使用叠加原理来求解。最近发现，在非线性系统中还会出现貌似随机但是对初始条件极为有关的运动，物理学中称之为混沌。上述很多现象都无法用线性理论来加以解释说明。这些现象也使得研究者更有兴趣的对非线性系统进行了广泛而深入的系统研究[3]。文献综述

1.4几个典型的非线性模型介绍

    在对自然界和很多理论进行实际研究过程中要面对的往往是一些非常复杂而且无序的体系。若想要把他们当成一个整体进行彻底的研究几乎是不可能完成的任务。这就是让我们去把握住物体运动的本质规律。面对这些复杂的体系，建立一个有针对性并且简单便于理解和解决的模型是极为重要的。在物理学发展的过程中，已经出现了很多存在实用价值的模型。其中包括很多为人熟知的经典模型如力学质点、卢瑟福原子行星模型等。我们研究非线性晶格体系时也需要建立相对应的晶格模型。其中被广泛应用的有如下：

FPU模型、Toda 模型、Klein-Gordon 模型、FK 模型、φ4 模型等。这些模型都具有非常重要的物理意义。我们将在下文中对其简单介绍[4]。

1.4.1 FPU模型

1955年Fermi Pasta Ulam等人提出了一个用于描述一维非线性格点的模型，后被称为FPU模型[8]，该模型的格点间相互作用势能可以表示为：

    （1-5）

其中xn和xn+1分别为格点n和n+1的位置坐标。是现有描述固体晶格非线性模型中最简单的模型之一，在一维非线性晶格和热传导现象研究中占有极其重要地位。FPU模型在非线性科学的研究与发展过程中占有非常重要的地位。由于它的发现使得非线性科学中各种意义明显的现象越来越受到人们的关注，也提供了更加新颖与全面的解决方法去解决很多的科学问题，这也加速了孤子理论的发[4]。来!自-优.尔,论:文+网www.youerw.com