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2.1 短时傅立叶变换
2.1.1 传统傅立叶变换与短时傅立叶变换
传统傅里叶变换将待处理的信号由时域空间转换到频域空间中进行观察，可以看到整个时间段上信号的总体频率分布范围和带宽大小。
式1.a中原始信号 与正弦波 通过内积运算得到傅里叶变换系数。因为 的支集为整个实轴，所以内积运算时的积分范围是在整个信号的时间轴上进行的。这使得通过传统傅里叶变换得到信号 在局部时间上的形式成为不可能。
传统的Fourier方法作为典型频谱分析方法，它在平稳信号处理中处于极为重要的地位。但是，其本身仅在极为一般的条件下才具有效性，对于待分析信号存在严格的限制条件:系统必须是线性的，信号必须是严格周期、者平稳的。
假设对时间序列x(t)满足广义平稳，则:
E [x (t)] =m
E [ ] <
C[x(t1), x(t2)]=C[x(t1+τ), x(t2+τ)]=C(t1一t2)
其中E[]表示数学期望，C[]表示方差。广义平稳也称为协方差平稳、二阶平稳。
若一个时间序列是严格平稳的，那么以下联合分布:
[x(t1)，x(t2 ), ...x(t n)]和[x(t1+τ)，x(t2+τ), ...x(t n + τ)]
对任何t1和τ都相等。
在对信号进行Fourier谱分析时，除了平稳性条件，还要求信号满足线性条件。在Fourier谱分析过程中附加的用来拟合波形畸变的谐波分量，而这种畸变则受非线性的影响。对一般的待分析信号来说，都表现为有限长、非线性、者非平稳的，这就严重限制了Fourier谱分析在实际应用中普适性。[48]
实际上，Fourier频谱不仅受到上述实际信号的的条件限制，更重要的是，Fourier频谱分析无法同时保留时间，频率和能量三种信息。对于非平稳信号分析而言，我们常常希望能够在缺乏外界描述的情况下，精确了解信号结构，信号的频率成分，以及频率的时间分布和突变情况，于是，一种能够同时在时间和频率上表示信号的密度和强度的分析方法被提出，这种分析方法就是时频分析谱。随着时频联合分布概念的提出，越来越得到信号处理领域的重视和关注，并不断地涌现出各种各样基于Fourier谱基础上的改进，、者不同于传统Fourier概念的新兴方法。
在信号分析领域，傅里叶变换(FT)是一种传统的信号处理方法:
（2.1）
基于傅里叶变换的两种经典表述:时域表述x(t)和频域表述X(f)的提出，使得频率这一重要概念得以普遍，为更好理解现象本质提供了途径，从而填补了长久以来仅通过时域描述x(t)的缺憾。在此基础上，发展了一系列针对信号频率分析的算法和分析方法。
然而，通过式(1)可看出，傅里叶变换无法揭示信号的频率分量如何随时间而变化，这也致使FT仅适用于在无限时间域中频率与时间一一对应的平稳信号研究。相对的，傅里叶反变换(Inverse Fourier transform(IFT))可写为:
（2.2）
上式中，信号x(t)在时刻t的任意值都可看作一个持续完整的非局部波在无限域上的叠加。显然，式(2.1)和式(2.2)中的I和了在各自的表述中都是相互独立的，也就是说，想要获得一个变量在该域上的表述，必须在无限范围内限制另一变量在另一域上的变化，即必须假定信号是分段平稳的，这显然不满足实际情况中出现的非平稳信号。因此，无论是傅里叶变换的时域表述，还是频域表述，都不能满足于实际信号的分析，尤其对于非线性和非平稳信号来说。
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