1。3 国内外研究现状

积分概念推导一些面积,体积和弧的长度时引出的,阿基米德在用抛物线求积方法计算抛物线弓形的面积时,人没有使用极限,使用的是有限的穷竭法，阿基米德的这一成果奠定了积分学的发展。通过18和19世纪大量的数学家的努力,尤其是在法国数学家柯西首次成功建立了极限理论,并以此来定义了微积分的基本概念,证明了微积分的基本定理：牛顿——莱布尼兹公式,并对微积分规划了一个严谨和全面的系统。

在国内积分的实际应用也更加普遍,积分计算方法越来越受人重视。近年来,积分计算的研究结果也有了明显的增加。如:甄海燕在2012发表了《二重积分计算方法》；孙卫卫在《二重积分的计算方法》中研究了怎么把把二重积分化为二次积分来解决问题；熊开明的《浅谈重积分的教学及其应用》描述了怎么使用累次积分来计算的方法,并对确定好积分上限和下限的问题进行了分析。

1。4 研究思路

通过图书馆查找和网上查询有关重积分和累次积分的相关信息，决定从以下方面进行研究：

（1）重积分存在的条件和累次积分存在的条件；

（2）转化为累次积分来计算重积分；

（3）重积分和累次积分的运用。

按照被积函数和积分区域的各自特点,熟练选择并使用重积分的计算方法。根据问题选择一种方法计算,有时也需要相互配合使用。一句话,在重积分计算过程中充分利用被积函数和积分区域特性来找到最优的计算方法,对解题思想的提升大有好处,并且可以熟练的选择简单计算方法在实践中根据需要改进。

最后,我们将实现我们的目标:根据问题的特征函数和积分区域选择简单的计算方法,利用重积分来解决一些实际问题。

第二章 重积分和累次积分的定义与性质

2。1 二重积分

2。1。1 二重积分的定义   

设是有界闭区域上的有界函数，将闭区间任意划分为个小闭区域并用表示第个小闭区间的面积。在每个上任取一点，作乘积，并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值时，该和的极限存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作。文献综述

2。1。2 二重积分的性质

2。1。2。1  。

2。1。2。2  。

2。1。2。3  （线性性质）

                  。

2。1。2。4  对区域具有可加性

。

2。1。2。5  若为上则有

2。1。2。6  设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，为                       的面积，则。

2。2 三重积分

2。2。1 三重积分的定义

2。2。1。1  设是空间中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求体积的小闭区域，这个分割也称为V的分划，记为P: 。 (空, ), 其体积分别是，直径分别是．设,或记为||P||。 在每个小区域中任意取一点，作和(称为Riemann和)，若当时，这个和式的极限存在，则称其极限为函数在区域上的三重积分，记为．并称函数在区域上可积．称为被积函数,x,y,z 称为积分变量，V称为积分区域。来自~优尔、论文|网www.youerw.com +QQ752018766-

2。2。2 三重积分的性质

2。2。2。1 线性性质：（1）可积函数的和（或差）及积仍可积；

           （2）和（差）的积分等于积分的和(差)；

           （3）可积函数的函数倍仍可积。 其积分等于该函数积分的倍。