其中为正整数。当时称为方程的单根;当时称为方程的重根,此时有

第二章  不动点迭代法与收敛性

2。1  不动点迭代法

    将非线性方程改写成其等价形式  (2—1)

并且假设是连续函数,此时我们任取一个初始近似值,将它代入(2—1)式的右端,即可求得,按照上面的方法进行下去,设当前点为,由计算出,即

称为迭代函数,称上述的迭代公式(2—2)是不动点迭代法,(也称为简单迭代法或逐次迭代法)。若式(2—2)产生序列,当连续,且序列收敛于时,有

即有,所以是方程的根。

例 2。1  用不动点迭代法,求方程。

    解:将原方程改为其等价方程,其中有两个等价方程分别为:

   (1)方程1:,若取初值,由迭代法(2—2)得

明显迭代法是发散的。

    (2)方程2: ,仍取初值       ,以此类推,得到

        ,此时已收敛,故原方程的解为:。

从例2。1的计算结果可知,不同的迭代公式,其迭代序列的收敛情况将会有很大的差异;可能呈现出发散或无意义的情况,就算是收敛的,其收敛的速度也是不同的。为使迭代序列收敛,且有一个较快的速度,迭代公式的选取是非常重要的。

2。2  收敛性

用不动点迭代法求解非线性方程的关键在于适当构造迭代公式,不同的迭代公式收敛的速度不同,有些可能发散。

定理 2。1  设迭代函数在上连续满足如下两个前提:

(1)对任意,有;

(2)存在一个正常数,对任意有

            ,                      (2—3)

则在上存在唯一的不动点。

 证  先证存在性:若或,明显在上存在不动点。又由于,不妨设及,定义函数

                ,

明显,且满足,由零点定理,存在使,即,所以为的不动点。

再证唯一性:设及都是的不动点,则由条件(2)得

矛盾,故的不动点只能是唯一的。

 定理 2。2  设满足定理2。1中的两个前提,则对任意,由(2—2)式获得迭代序列收敛到的不动点,且有误差估计

证  设是在上的唯一不动点,由拉格朗日定理及公式(2—3)可得,

因为,故当时,序列收敛到。文献综述

下面证估计式(2—4)成立。由(2—3)式有,

因此对任意正整数,有

当时,有,即(2—4)式得证。

同理,可以得到

当时,(2—5)式成立。

由定理2。1、2。2得迭代序列在区间上的收敛性即全局收敛性。但是它有时候不容易检验定理的条件,但是通常在实际应用中只在不动点的邻近考察其收敛性,即局部收敛,接下来将为大家介绍局部收敛的定义。

 定义2。1  设有不动点,如果存在的某个邻域,对任意,(2—2)式产生的迭代序列,且收敛于,则称迭代法(2—2)局部收敛。

定理2。3  若是的不动点,在的某邻域上存在且连续,并满足,则迭代过程在的邻域是线性收敛的。

    例2  用迭代法求方程的近似解,确切到小数点后面6位。

解:由于,则;

 时,,

因此是有根区间(本题有两种构造形式)

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