4。6 线性变换的比较 11

4。7 子空间的比较 12

4。8 同构 15

第五章  欧氏空间中的推广 17

结  论 20

致  谢 21

参 考 文 献 22

第一章  绪论

1。1 研究背景

n维几何向量空间可拓广到一般的线性空间（向量空间），它们所含的向量是抽象的向量，比几何中的向量涵义更为抽象和广泛，它可以是数、矢量、矩阵、函数、函数向量、线性变换等等。故而，线性空间是一类非常广泛的、不同研究对象的数学抽象，它同时也是高等代数中最基本的概念之一。

在线性空间中，元素之间的相互联系是通过映射来实现的，通常我们称之为线性空间的一个变换，而线性变换是其中一类最基本、最重要的变换，它无疑是高等代数中一个主要的研究对象。

在线性空间中引入向量间的夹角、向量的长度、内积等概念后，线性空间具有了度量性质，发展成为欧氏空间。

由于线性空间和欧氏空间都属于抽象代数，加之国内对线性空间和欧氏空间的整体性研究的较少，有的只是对理论部分的简要论述，故缺乏更直观、更全面的讨论分析。

1。2 研究意义和目的

  在我们的学习过程中可以发现，线性空间和欧氏空间在高等代数中是十分重要的两部分内容。线性空间使向量更加抽象化，并将向量进一步地展开，而欧氏空间在线性空间的基础上提出了内积概念，将向量的长度，夹角等度量性质引入到了线性空间中。总的来说，线性空间和欧氏空间之间既有区别又有联系。而且，线性空间理论广泛渗透于各项工程技术、自然科学、经济管理科学中，应用十分有效。

  本论文的主要目的是通过对二者进行系统性的对比分析，使我们更全面、更深刻的认识和学习线性空间和欧氏空间。

1。3 研究方法

本论文采用了模块化分析与对比分析、理论分析与实例分析相结合的研究方法。

在《线性代数》和《高等代数》等相关书籍中，通常将“线性空间”和“欧氏空间”作为两章节内容分开讨论并加以讨论，这样往往不便于学习和理解。本论文则把这两部分内容系统地整合在一起，将研究讨论的内容划分为几个模块，在模块中对比分析和讨论线性空间和欧氏空间的联系与区别。

在对比分析过程中，除了理论部分的比较分析外，还适度的引入例题，在分析解决例题过程中，更清晰、更直观的了解线性空间和欧氏空间的区别和联系。

第二章  线性空间与欧氏空间的发展历史

2。1 关于线性空间

   线性空间（向量空间）理论是高等代数理论中的重要内容，它不仅蕴含着深厚的数学思想方法，还包含着丰富的数学内容。

  1844年以前，关于“向量空间”的概念解释一直是模糊的，而格拉斯曼则是给出“维向量空间”概念的第一位数学家，格拉斯曼用纯几何的方法来定义维向量空间中的向量，并将其逐步发展成为向量演算的通用方法。格拉斯曼指出，“只要对微分方程进行深入研究，无限维数的向量空间就必然会出现，甚至是未知并且无限的行列式，也是对无限维数空间的体现”[1]。但由于向量空间理论过于抽象，致使格拉斯曼的向量空间理论和扩展代数理论被长期忽视。论文网