直到1888年，皮亚诺给出了“向量空间”的明确定义，即空间由元的向量构成；克罗内克则指出在有理数范围内的线性组合其实是对代数空间的扩展，并且他在这个线性组合中也运用到了向量空间的定义，在高斯理论中也有对有限维向量空间定义的详细介绍。

1894年，希尔伯特将域和向量空间的概念应用到了数论的研究中。希尔伯特认为，无限维的向量空间其实并没有那么丰富和复杂。后来，希尔伯特拥有了属于他自己的希尔伯特空间，推动了线性空间的发展。

2。2 关于欧几里得空间 

  欧几里德(Euclid，拉丁文为Euclides)，被世人称之为“几何之父”，是古希腊数学家。他生活在被誉为古希腊文化中心的亚历山大，其著作传播广泛，是公认的世界历史上最成功的教科书，其著作《几何原本》更是欧洲数学的基础。

  欧几里德的很多公理都被划分到了二维或三维欧几里德抽象数学空间中，其研究的几何问题往往涉及平面几何以及三维空间上的立体几何。随着代数理论的发展，这类数学空间又被推广到了任意的有限维中，并且把欧几里德二维和三维空间中向量的长度、角度等度量性质转换成任意空间维数的坐标系，这些空间后被称为维欧几里德空间。

  线性空间在定义了内积之后成为欧氏空间，空间的维数也变成了任意维的。由于我们生活在三维的空间中，我们的感官只能感知三维及以下的空间，故对高维空间的描述便显得十分抽象和难以理解，欧几里得空间为我们认识和探索高维度空间提供了可能，也让我们更加清晰、更加准确地认识到了空间的本质。

第三章 线性空间与欧氏空间的定义及预备知识

3。1 线性空间的定义文献综述

    定义1  设是一个数域，是一个非空集合，若在上定义

    加法：，满足（即加法封闭）；

    数量乘法：，，满足（即数乘封闭）

满足这两种代数运算，并且，若加法与数乘满足下述8条运算规则，即若

，成立：

（3）存在零元素，使，有；

（4），存在，使，称为的负元素，记为；

则称是数域上的一个线性空间，中的任意元素称为向量。

在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法。我们将空间中的向量作为讨论线性空间理论的一个具体化模型，发现向量的长度、夹角、距离等度量性质在线性空间的理论中并没有得到反映，但是向量的度量性质在很多问题中有着特殊的意义，因此我们进一步引入度量的相关概念。

3。2 欧氏空间的定义

我们一般用向量的内积来表示向量的长度、夹角和距离等度量性质，之所以将内积作为基本的概念，是因为向量的内积具有明显的代数性质，而且对于多维的、抽象的欧氏空间，运用内积概念更便于我们学习和理解。

定义2  设是实数域上的一个线性空间，在上定义了一个二元实函数，称为内积，记作，它具有以下性质：

     （4），当且仅当时，。

其中，。定义了内积的实线性空间称为欧几里得（Euclid）空间，简称欧氏空间。

    在欧几里得空间的定义中，空间的维度可以是任意维数的；几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间。 

3。3 预备知识

    设与是两个集合，如果映射使元素与元素对应，记为