目前大学中所使用的教材，包括陈纪修等[5]编写的《数学分析下册》以及复旦大学数学 系编写的《数学分析下册》[6]，都给出了较为完整的级数理论，包括级数相关定义以及比较 判别法、根式判别法、Abel 判别法以及 Dirichlet 判别法等较为常见的判别法。而韩仲明[7] 的《数项级数敛散性的判别法》和李春江[8]的《级数收敛的判别方法》中归纳了级数收敛的 几种判别方法，李春江还在文中提到了不常见的对数判别法以及双比值判别法。而裴礼文[9]

的《数学问题中的典型问题与方法》和钱吉林[10]等人编写的《数学分析解题精粹》，则是 通过整理级数理论的内容，按照求和问题、级数敛散性判断以及级数敛散性应用的顺序编写， 对各类问题进行分类归纳，同时通过举例说明使学习者加深印象，更加熟练地掌握这部分内   容。

级数的发展与微积分密不可分，掌握好级数的相关知识特别是收敛性的判别方法，对于 之后进一步学习数学有着十分重要的意义。而在目前的大学学习中，级数被视为最复杂最困 难的一部分内容。很大程度上是因为学生不能很好地掌握主要的判别法。因此，本文通过整理 数项级数的判别法，让学生形成一个系统的知识框架，使得学习者不再对这块知识感到困惑。

二、级数的敛散性

（一）级数的部分和定义

定义 2。1。1 无穷级数的前 n 项和

称为这个级数的第 n 个部分和。

（二）级数的敛散性定义

根据上述部分和的定义，如果上述部分和构成的数列 Sn 有有限的极限 S ，我们就称 级数（1）是收敛的，其和为 S ，记作



如果数列 Sn 没有有限的极限，就说级数（1）是发散的。

三、级数收敛的判别方法

（一）正项级数收敛的判别方法



定义 3。1。1 如果对 n 1,2,，都有 an  0 ，就称级数 an 为正项级数。

n1



定理 3。1。1  正项级数  an  收敛的充分必要条件是其部分和数列 Sn 有界。

n1

证明较为简单，这里不再重复给出。

1。 比较判别法

 

定理 3。1。2  （比较判别法）设有两个正项级数  an  和 bn  ，如果 N  1，当 n  N

n1 n1

时有不等式论文网

an  bn ；

那么有：

 

（1）若 bn  收敛，那么  an  也收敛；

（2）若  an  发散，那么 bn  也发散。

证明 因为改变级数的有限项不影响级数的敛散性，所以我们令两个正项级数的前



N 1 项为零，至此，我们有 n ，存在不等式 an  bn 。设 An 和 Bn 分别为正项级数 an 和



bn  的部分和，则有 An   Bn (n  1,2,3) ，

 

（1）若 bn  收敛，则Bn 有界，则An 也有界，所以  an  收敛；

 

（2）若  an    ，则易知 bn    。

例 1 级数  1

收敛，因为

所以根据定理 3。1。2 可知级数 收敛

对于这类有不等式