MATLAB一类奇摄动方程的渐近解的研究(2)
奇摄动是求解非线性的、高阶的或者变系数的数学物理方程的近似解析解的一种方法 .主要求解原理是求含有小参数的微分方程的近似解 ，而这个近似解是从原来问题的简化方程而得来的，我们称它为近似解析解，采用奇摄动方法可以对原数学物理方程进行定性，甚至定量进行分析和研究.该方法最早一开始用于行星运动的天体力学研究和粘性流体运动的流体力学研究. 后来其范围逐渐扩展到化学，声学，控制论，生物学，最优化和数学基础研究等其他科学领域 .1940年到1970年期间，奇摄动理论的研究及应用都得到了快速的发展，大量学者的发表了大量论文和专著，使奇异摄动成为应用数学的一个重要分支，成为解决微分方程的重要方法之一 ，不仅仅在应用物理学的多个方面有着非常广泛的应用，并且在理论物理学的多个方面也在起着非常重要的作用.
“边界层”这个术语最早用于描写流体力学中关于粘性流体的方程组 .相对于关于理想流体的方程组，粘性流体的描述方程组刚好是奇异摄动系统的典型例子.假设粘性流体的黏性在无限小的情况下就可以无限接近理想流体，即使理想流体方程组所描写的情况，例如在流线型物体边缘流动的过程也不起作用，典型例子如绕流向题。在流体力学中，这种流体在物体边界的区域就称为边界层.
边界层型的奇异摄动理论起源于 1905 年 Prandtl 的匹配渐近展开法.以致后来在我国，许多前辈对奇异摄动理论的研究和发展都有着巨大贡献.比如，1948 年钱伟长开创了现在称之为合成展开法的重要方法，比 Prandtl 的匹配展开法有显著的突破和创新并且结果非常可靠，其结果与实验结果几乎一模一样.郭永怀在 1953 年推广了Poincare-Lighthill方法.后来，钱学森在 1956 年更加深入地阐述了Poincare-Lighthill方法的重要性，称之PLK方法.1954 年，林家翘对双曲型微分方程问题提出了一个为研究非线性波的问题提供了非常有效的途径并称之为解析特征线法的奇异摄动理论.七十年代林家翘又发表了关于具有转向点的四阶微分方程的渐近解法的文献 .
1.2研究目的及主要研究内容
在实际生活中，微分方程常常用来刻画物理学或其他学科方面的问题的数学模型，在对这些微分方程的参数进行无量纲化处理后，微分方程会出现小参数，这类问题就被称为摄动问题 .当正则级数发生不一致收敛，问题就变为奇异摄动问题.奇异摄动理论是在微分方程的发展中一步步形成的.在奇摄动问题的研究中，随着边界层函数法的出现，摄动问题的理论及应用都有了很大的发展，并且能有效地获得渐近解的构造、解的存在性证明以及余项估计.
本课题主要讨论的一类奇异摄动方程 ，即奇摄动方程组 （1.0）
我们使用边界层函数法求得近似解并与其精确解对比，并以此证明边界层函数法的有效性.
1.3 论文框架
本文共分为三个章节
第一个章节主要介绍了本课题的背景以及研究目的和意义，解释了论文当中需要用到的一些专有名词的由来.
第二个章节主要介绍了边界层函数法的证明以及原问题的渐进解以及误差估计式的构造，其中的重点是引入了伸长变量 ，使得边界层部分的梯度拉长，使得边界层的图像更明显，得到了渐进解的表达式，并在最后的部分通过参考其他文献给出了原问题解的存在性证明和误差估计式的构造.
第三个章节则主要给出了边界层函数法在含有小参数的奇摄动方程中的应用，并举出几个例子证明边界层函数法在构造微分方程的渐进解中的优势.