2  平均不等式

2。1  平均不等式的类型论文网

要研究平均不等式的应用，首先要来介绍一下平均不等式的类型，它包括均值不等（算术-几何平均不等式），算术-调和平均不等式，几何-调和平均不等式，幂平均不等式，加权平均不等式等等，下面就常用的几种平均不等式给出介绍．

定义[1]：

  （1）如果 是 个实数， 是正整数，且 ,

       那么   叫做个正数的算术平均数;

（2）如果 是 个非负实数,

       那么  叫做这 个正数的几何平均数;

（3）如果 是 个正实数,

       那么  叫做这 个正数的调和平均数．

  定理1[1]： 

 个( 是大于1的整数)正数的算术平均数最大,几何平均数次之, 调和平均数最小;

    注：只有在 个正数相等时,它们等号成立．

 ≤ ≤ 。     简写：  ≤   ≤  。

当  ≤   时, 称为算术-几何平均不等式；

当  ≤   时，称为几何-调和平均不等式；

当  ≤   时，称为算术-调和平均不等式．

定理2：

 当 且 ，则有 成立，当且仅当   时取等号，称为幂平均不等式。

2。2  均值不等式的简单证明

算术—几何平均不等式是一个基本而常见的不等式，经常被简称为平均值不等式或均值不等式，在数学中应用十分广泛，下面给出它的简单证明．

    数学归纳法：文献综述

（1）当 时，不等式 显然成立，当且仅当时 等号成立；

（2）假设命题对 时成立，现证命题对 时成立，考虑 个非负实数 的情形．

　　不妨设 是 中最大的数，（否则，将 从小到大排列），记则有

利用二项式展开公式，可得即得 

故当 时不等式成立；

（3）由归纳法原理，命题得证．

证明均值不等式的方法除了上述的数学归纳法之外，还有很多方法，如应用贝努里不等式，泰勒公式，排列不等式等，这里就再不一一介绍．     

3  均值不等式在初等数学中的应用

   在高中数学中，均值不等式（基本不等式）在求解函数最值，解应用题，证明不等式及方程求解等方面有许多应用，下面对这些应用分别来说明：