结论 30

致谢 31

参考文献 32

第一章 引言

“矩阵的当代观念是在两个世纪前慢慢形成的，先是由一名叫高斯的数学 家，他把一个线性变换的所有系数看成一个团体，1844，爱因斯坦讨论了“变更” 矩阵和它的乘积，1850 年，英国数学家希尔斯维特第一个使用了矩阵这一词语。 1858 年，英国数学家凯莱想到了将矩阵作为一个独立的数学对象来研究的办法， 并且在之后发表《关于矩阵理论的研究报告》，矩阵由此被创立，并且被赋予了 一系列的定义,例如两矩阵相等，两矩阵之和，以及零矩阵，，一个数与一个矩 阵的乘积，矩阵的逆，转置矩阵等，两矩阵的积，并且凯莱还注意矩阵的乘法和 正常数值的乘法不太一样，它的满结合律，不满足交换律，且 A 乘 B 矩阵只能用

B 乘 C 矩阵去右乘。之后，正交矩阵这一术语又被法国数学家埃米尔特提出来， 正交矩阵的正式定义在 1878 年被德国数学家菲洛贝乌斯发表，之后他又引入了 矩阵的秩的概念，从此，矩阵的秩概念就产生并被用于一系列数学问题中”

矩阵在线性代数甚高等数学中是至中一个重要的基本概念，线性代数的研究 离不开矩阵的秩，同时，它在应用数学中也是一个重要的工具。

而矩阵的秩是一个基础的的概念，也是矩阵最重要的数目特性之一，它在初 等变换的过程中保持不变，矩阵的秩能反映矩阵的固有特性，它不管在线性代数 中，还是高等代数中甚至其他学科中，都起到很大的作用，不论你是否是数学专 业还是非数学专业，学习和理解它的含义都是十分必要的，本课题的目的在于总 结线性代数中有关矩阵的秩的应用，并在此基础上探讨它的更深层次的应用，并 且延伸到到它在其他学科或者生活中的应用

现如今，矩阵理论在许多领域都有很宽泛的应用，例如矩阵分析法在企业战 术管理，商品运营，甚至在在教育行业的教学效率评价等方面都起到很大的作用。 在空间几何中，除了运用几何定理，应用矩阵的秩能判断面和面，面和线，线和 线的关系更为简单易用。在控制论中，矩阵的秩可以判断线性系统的可控制性和 可观察性。此外, 矩阵的秩也可用来求解向量组的线性表示、求齐次线性方程 组的基础解系及通解、求解非齐次线性方程组以及判段向量组的线性相关性线性无关性、求向量组的极大无关组、等等，但上述所讲的矩阵的秩的运用成都只是 冰山一角，我们求学的道路上不能能仅仅停留于现在这个程度，应该使其推广和 应用到其它更多领域之中，使之能够成为我们学习和研究便利的工具。

第二章 线性代数中有关秩的应用

2.1 秩的定义

定义 1 有一个 mn 矩阵 A，它的标准型为 F 

由数 r 完全确定，矩阵 A 中的非零行数为 r，这个数就叫做 A 的秩

定义 2 一个向量组的极大线性无关组所含向量的数目称为这个向量组的秩.

定义 3 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 M，且所有 r+1 阶子式（如 果存在的话）全等于 0，那么 M 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记做 R（A）