线性变换的Jordan-Chevalley分解
毕业论文关键词：对角化、线性变换、幂零线性变换、孙子定理
Abstract
This topic will discuss diagonalization method of linear transformation on finite dimensional linear space and show an application -Jordan-Chevalley decomposition about diagonalization and Chinese Remainder Theorem. The aim is to decompose a complex linear transformation into the sum of a diagonalizable linear transformation and a nilpotent linear transformation. By means of specific analysis of diagonalization of matrix which can be easily understood and some discussion on diagonalization of linear transformation which is complex, we can correctly apply diagonalization of linear transformation to solve corresponding problems.
Keywords: diagonalization, linear transformation, nilpotent linear transformation, Chinese Remainder Theorem
摘要 3
Abstract 3
第一章 绪论 4
1.1课题的目的和意义 4
1.2国内外研究现状和发展趋势 4
1.3研究内容 5
第二章 预备知识 5
2.1 线性空间的直和分解 5
2.2线性空间的同构 6
2.3 对角化 7
2.4幂零变换 9
2.5半单变换 11
2.6孙子定理 12
第三章 Jordan-Chevalley 分解的证明 14
1.第一问与第二问的证明 14
2.第三问的证明 16
3.第四问的证明 18
第四章 结论 19
参考文献 20
谢辞 21 第一章 绪论
1.1课题的目的和意义
本课题将对有限文线性空间上线性变换的对角化方法展开探讨，并给出对角化及孙子定理的一个结合应用-Jordan-Chevalley 分解。为了把一个复杂的线性变换分解为一个半单线性变换和一个幂零线性变换的和。通过对我们比较容易理解和掌握的矩阵对角化问题的具体研究和对相对复杂的线性变换的对角化问题的深入探讨，使得我们能正确利用线性变换的对角化解决相关问题。作为数学的一个重要分支，矩阵理论历史悠久且内容及其丰富。代数课程中，应用最广泛的表示方法就是用矩阵来表示。比如，线性方程组就可以通过增广矩阵来表示，取定线性空间中的一组基，一个线性变换在这组基下的就能得到一个矩阵，在欧氏空间，取定一组基后，内积可用其度量矩阵来表示，正交矩阵可以表示正交变换，对称矩阵可以表示对称变换等等一些例子。通过矩阵表示，绝大部分线性代数的问题都通过矩阵形式来解决，这种思想方法涵盖了整个内容。线性变换的对角化问题在高等代数和解析几何中扮演者举足轻重的角色，在很多领域都有重要的地位和作用。变换的思想是数学中一个很重要的思想，在很多地方都有着必不可少的作用，换句话说，如果我们不研究变换，数学就变得没有生机。线性变换是高等代数中一个非常重要的概念，为研究线性空间的结构提供了道路，同时为矩阵的运算提供了新的思路。更进一步，19世纪末，数学研究的主流之一，群表示论的最初发展很大程度上也是由于引入具体的线性群（矩阵群）来描述。而现代科学技术的发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
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