线性变换的Jordan-Chevalley分解(2)
1.2国内外研究现状和发展趋势
矩阵的出现，起初是数学表达形式的改变，是数学工具的创新。后来我们发现矩阵有着很多特殊的性质，比如它依赖于不同的数域。在矩阵的初等的理论中，元素是通常的实数。实数域上、整数环上的矩阵理论分别由H．J．S．Smithl873年、GFrobeniusl879年开创，并且数学家们限制于整数元素做了大量的工作。19世纪末，对矩阵的研究元素已经属于抽象域，复多项式环矩阵理论是由K．weierstrass于1868年开创的，模数域矩阵理论是由弗罗伯纽斯于1880年开创的，至此矩阵理论体系已基本形成。从1843年哈密顿抛弃乘法交换律发明了四元数，1844年格拉斯曼发展了更具一般性的行个实数的有序列，到1883年康托尔由有限集合推广到无穷序列，代数已开始打破其既有定律突破普通代数，从而使实数域嵌入复数域、复数域嵌入超复数域，随之矩阵以其特有的运算和运算律开拓了矩阵代数的现代理论，又以与其它代数共有的属性纳入了抽象代数综合研究的行列。20世纪初，矩阵理论得到了进一步的发展，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现已成为独立的一门数学分支一一矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。目前，它已经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支[1]。
随着现代数字计算机的普遍以及发展，计算机成为人们生活中越来越不可缺少的工具。实际生活中问题都可以通过离散化的数值计算具体表现出来从而能解决问题。比如借助于计算机求解线性代数方程组的近似求解问题。从而作为处理实际问题的矩阵代数，成为从事各类科学研究等等工作的的人员所必需的基础知识。
1.3研究内容
本文主要分四部分，首先介绍本课题的背景、国内外研究现状以及其意义；第二部分，我们深入研究有限文线性空间的直和分解和深入讨论线性变换的可对角化以及补充本文需要的基础知识第三部分，我们对对角化及孙子定理的一个结合应用-Jordan-Chevalley 分解进行证明，证明的大概思路分为三步，第一步，将线性变换问题转化为矩阵问题，必定存在一组基使得线性变换在这组基下的矩阵为若尔当形矩阵，若尔当形矩阵可以分解为一个半单矩阵和一个幂零矩阵的和，再结合线性空间的同构解决第一问和第二问；第二步，通过孙子定理在多项式的应用建立同余式组求解；最后一步，使用反证法结合两个半单变换可交换则它们的和也是半单变换，两个幂零变换可交换则它们的和也是幂零变换，既是幂零变换也是半单变换的线性变换只能是零变换这三个引理证明唯一性；最后总结论文。
第二章 预备知识
2.1 线性空间的直和分解
直和定义：设 是线性空间 的子空间，如果和 中任意向量 可以分解为 是唯一的，两子空间的和就称为直和，记为
定理1：设 , 是有限文线性空间 的子空间，则 等价于：
⑴ 且
⑵ 且
⑶ 和 的基凑成 的基，
⑷对任意的 ，有 ， ， ，且表示法唯一。
性质
1.文数
设 都是数域F上的有限文线性空间V上的子空间， ，当且仅当
。
2.向量表示
设 都是数域F上的有限文线性空间V上的子空间，则
当且仅当 且零向量的表示法唯一。
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