非交换可积方程族的精确解(2)
(2)
然后通过对 mKdV 方程作 Riccati 变换 从而得到了不含谱参数的Schrödinger 方程
(3)
他们还发现了著名的反散射方法以及 Schrödinger 方程的本征函数 随时间的发展满足方程
(4)
通过进一步研究发现 KdV 方程存在任意多的孤子解，具有无穷多个守恒量，这些奠定了现代可积性理论的基础在 GGKM 的理论中，P.D.Lax 注意到借助线性方程组(3)和(4）的相容性条件即可得到 KdV 方程，写成算子的形式就是著名的Lax方程
(5)
其中 ，算子L和A称为Lax对．此后不久，利用反散射方法，Ablowitz， Kaup， Newell和Segur解出了 sine-Gordon 方程的孤子解，还提出了 AKNS 方程族，这个方程族包括了当时已知的大量的可积方程，而且可以利用反散射方法统一地求出它们的精确解，从而也表明反散射方法是一个具有普适意义的求解非线性方程的方法，可积系统渐渐丰富了起来．P.D.Lax 在 1968 年提出 Lax 对的文章中利用矩阵形式的 Lax 对给出了矩阵 KdV 方程的具体形式
(6)
这是第一次提到非交换可积系统．随后，人们对非交换矩阵做了一系列研究，这其中主要的有：L.Feher 和 I.Marshall将著名的Drinfeld-Sokolov 约化推广到了矩阵情形，Bilal 揭示了矩阵 Gelfand-Dickey 系列在量子场论中的重要应用以及Q.H.Park 和 H.J.Shin 作的关于矩阵sine-Gordon 方程的一些工作．80 年代初，对于非交换情形的研究进展很大，A.Connes 建立的非交换几何最为突出．
对于交换的可积方程目前已经做了诸多研究，文献[1]中，陈登远结合物理与几何的背景，以Lax可积为主线，系统论述孤子系统的共同性质，其中包括等谱流与非等谱流，无穷守恒律与Hamilton结构等．文献[6][7]中，对交换的AKNS方程进行了介绍，为本文第一章的写作提供了理论基础．文献[8][9] [10][11]中，对交换的耦合Harry-Dym (H-D)方程做了简单介绍，为非交换的H-D方程族的推导做了知识上的准备，对交换的Kaup-Newell(KN)方程做了简单介绍，参阅这些书刊有助于非交换的KN方程族的写作，文献[12]，对非交换的Levi方程进行了简单介绍，文献[13]为等谱Toda链方程族的推导做了知识储备．
本文在参考上述文献的基础上，特别是陈老师的孤子引论，从交换的方程族出发，依据Lax可积模式，对原有的交换方程进行非交换扩展，得到了几个非交换可积方程． 本文主要研究了非交换等谱AKNS方程族、非交换的H-D方程族、非交换的KN方程族和非交换的Levi方程，最后又用类似的方法推导了非交换的Toda链方程．
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