一类三阶变系数线性微分方程特解的求法
关键词 三阶；变系数线性微分方程；解；构造
1 引言微分方程历史久远，早在几百年前，莱布尼兹、牛顿等许多科学家在研究数学和物理学时就开始研究微分方程，它在数学分支中占有非常重要的地位，随着科学技术的不断发展，微分方程在医学、生物学、材料学等各领域内的推广运用中也取得骄人的成果，在促进相关学科的发展方面起到了不可忽视的作用，现在它已经成为社会科学和自然科学研究的有力工具．微分方程在当代仍然在向前进步，最根本的原因在于其深深的扎根于生活实际问题的土壤当中，大量的难题如医疗体系，天气预报系统，案件的侦破，新材料开发等各领域的困难都可以通过建立微分方程得到解决．因为迄今为止非线性微分方程几乎没有一般性的解法． 目前微分方程以研究线性微分方程为主，如参考文献[1]．而且线性微分方程的研究成果会成为非线性微分方程研究的基石．线性微分方程在各个领域都有着相当广泛的推广运用，研究的价值很大．在当代，数学家们对二阶线性微分方程的可解情况进行了大量研究，也获得了一些成就，可是在对高阶的变系数线性微分方程的解的研究方面，仅有有限的结果．二阶变系数线性微分方程( ) ( ) 0 v p x v q x v (1)其中 ( ) p x 与 ( ) q x 均为连续函数. 尽管它的通解结构拥有很理想的理论结果[6]， 然而在求解变系数微分方程时其暂无适应范围广的解法，只有在一些比较特殊的情形时，例如在文献[1]中方程的系数之间需要满足一定的关系才能够求出它的解．假如我们积极地对它加以深入研究，深入挖掘它潜在的巨大价值，一定会对我们的科学技术带来非常强大的促进作用．如果我们能求得二阶微分方程的一个非零解，那么对于二阶微分方程的求解将是一个小突破，难点也将迎刃而解．尽管其至今还没有一般的解决方法．一般来讲我们只是通过观察发现一个非零解．正因为如此，对于特定的二阶齐次微分方程，这里试图运用构造非零解来解决问题．目前无比较一般性的解法可应用于三阶变系数微分方程，如今常见的做法是将方程转化或者降阶为大家可以容易求解的类型．在参考文献[1]中呈现了三阶变系数线性微分方程能够降阶的一个范例， 而参考文献[2][4]也向我们展示了几种能降阶的三阶变系数齐次线性微分方程范例．但通过仔细的观察我们发现，绝大部分求解方法受限于方程的系数，而且都很难在实际生活有比较广泛的推广运用．
但可喜的是，在有关微分方程的定理中，参考文献[6]存在一个结论里谈到系数连续的高阶微分方程都可以变成微分方程组，与此同时我可从其中知道求解二阶微分方程的通解可以应用刘文尔公式．由此不妨先将三阶变系数微分方程转化为二阶， 采用某些不可缺少的计算及刘文尔公式， 进而求出原三阶微分方程的通解．本文在已有文献的基础上，引入一种三阶变系数微分方程，对其进行研究，先把自变量进行变换再将其降阶， 变为二阶变系数微分方程， 最后通过构造法迂回求解三阶线性微分方程的特解．
2 二阶微分方程的通解对于二阶变系数微分方程( ) ( ) 0. v p x v q x v （1）其中 ( ) p x 与 ( ) q x 为连续函数．假如能找出它的一个非零解 1 v ，在求它的通解的时候套用刘文尔公式即可．我们根据二阶微分方程（1）的系数 ( ) p x 与 ( ) q x 彼此的联系，运用构造法来求解．定理1 二阶微分方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 存在形如( )( )q x dxv s x e （2）的非零解，其充分必要条件是有非零可微函数 ( ) s x ，有下述方程成立 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 s x p x q x s x q x q x q x p x q x s x （3）证：必要性 设方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 存在形如 ( )( )q x dxv s x e 的特解，并且 ( ) s x 是非零可微函数，把 ( )( )q x dxv s x e 代到方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v ，经过整合得到 ( )2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0q x dxs x p x q x s x q x q x q x p x q x s x e ．由于 ( )0q x dxe ，得 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 s x p x q x s x q x q x q x p x q x s x ．充分性 若 ( ) s x 符合条件（3），又因为 ( )0q x dxe ，用 ( ) q x dxe 乘以（3）式两边即可得到 ( )2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0q x dxs x p x q x s x q x q x q x p x q x s x e ．经整理得到( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0q x dx q x dx q x dxs x e p x s x e q x s x e ．即 ( )( )q x dxv s x e 为方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 的一个非零解．仔细观察定理1，我们可以把一般性的非零可微函数 ( ) s x 特殊化，可以令 ( ) s x 成为具体的非零可微函数，并将其代入到方程（2）式 ( )( )q x dxv s x e 当中，可以得出如下推论．在二阶齐次微分方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 中， 已知 ( ) p x ， ( ) q x 连续． 且 , , , l m n t 是常数．推论(I) 方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 有形如 ( )( )q x dx nv lx m e 的特解的充要条件是 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 1) 0 q x q x q x p x q x lx m p x q x nl lx m n nl ．（4）推论(II) 方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 有形如 ( ) ( ) lx m q x dxv e 的特解的充要条件是 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 l l p x q x q x q x q x p x q x ． （5）推论(III) 方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 有形如 ( )( sin cos )q x dxv l x m x e 的特解的充要条件是 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( sin cos ) ( ) 2 ( ) cos sin sin cos 0 q x q x q x p x q x l x m x p x q x l x m x l x m x ． （6）定理2 二阶微分方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 存在形如( sin cos )txv m x n x e 的非零解，其充要条件是下述方程成立 2( ) ( ) 1 ( sin cos ) ( ) 2 ( sin cos ) 0 tp x q x t m x n x p x t m x n x ． （7）实际上，只把 ( sin cos )txv m x n x e 代入方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 即得．定理3 二阶微分方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 存在形如sin ln( ) v x mx 的非零解，其充要条件是下述方程成立 2( ) sin 2cos sin( ) cos ln( ) ( ) 1 sin ln( ) 0p x x x xp x x mx q x x mxx x ． （8）实际上，只要将 sin ln( ) v x mx 代入方程 ( ) ( ) 0 v p x v q x v 即得．例1 求微分方程 0 y xy xy 的通解．解：由方程可知 p x x , q x x
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