关于二重极限方面的定理及其应用
毕业论文键词 二重极限；累次极限；上下极限；极坐标变换；上下确界一
．引言与一元函数的极限相类似,二元函数的极限（即二重极限）是《数学分析》的重要内容之一,二重极限是二元函数微积分的基础内容之一,它在二元函数微积分中的地位很高,对它的准确理解和求解是研究二元函数微积分相关理念和方法的基础.我们主要讨论了关于二重极限的一些重要定理,有关二重极限与累次极限存在性关系的定理和例题,关于用极坐标变换求二重极限的相关定理及其应用.二．相关概念及定义2.1二重极限的定义[1]设函数 ) , ( y x f 是定义在开区域（或闭区域） 2R D 内的二元函数, ) , ( 0 0 0 y x P 是 D 的聚点.若对于任意给定的 0 ,存在 0 ,使得 2020 0 ) ( ) ( 0 y y x x PP ,的一切点 D y x P ) , ( ,总存在常数A ,都有 A y x f ) , ( ,成立,则称常数A 为函数 ) , ( y x f 当 0 0 , y y x x 时的极限,记作：A y x fy yx x) , ( lim00.为了与一元函数的极限相区分,这里我们把二元函数的极限叫作二重极限.2.2累次极限的定义[1]接下来我们要考察两个自变量x 与 y 依一定的先后顺序相继趋向于 0 x 与 0 y 时 f 的极限,这种极限称为累次极限.设 R E E y x , , 0 x 是 x E 的聚点, 0 y 是 y E 的聚点,二元函数 f 在集合 y x E E D 上有定义.若对每一个 y E y , 0 y y ,存在极限 ) , ( lim 0y x fx E xx x,由于此极限一般与 y 有关,因此记作) , ( lim ) (0y x f yx E xx x , 而且进一步存在极限) ( lim0y Ly E yy y ,则称此极限为二元函数 f 先对 ) ( 0 x x 后对 ) ( 0 y y 的累次极限,并记作) , ( lim lim 0 0y x f Lx y E xx xE yy y或简记作) , ( lim lim 0 0y x f Lx x y y .同理我们可以定义先对 ) ( 0 y y ,后对 ) ( 0 x x 的累次极限) , ( lim lim 0 0y x f K y y x x .三.关于二重极限方面已有的一些重要定理定理 3.1[1]A P fD PP P) ( lim0充要条件是：对于D的任一子集E ,只要 0 P 是E 的聚点,就有A P fE PP P) ( lim0.证明 必要性 设 A P fD PP P) ( lim0,所以 , 0 , 0 当 D U P ) ; P0 （ 时,有 A P f ) ( ,由于 D E , 0 P 为E 的聚点,所以 E U ) ; P0 （ ,故当 D U E U P ) ; P ) ; P 0 0 （ （ 时,有 A P f ) ( .即表明 A P fE PP P) ( lim0充分性 设 D E , 0 P 为E 的聚点, A P fE PP P) ( lim0.下面采用反证法：假设 A P fD PP P) ( lim0,则必 0 , 01 nn , D U P n n ) ; P0 （ ,使0 ) ( A P f n ,且 n P 互不相同.因此,取E 为 D P E n , 01lim ) , ( lim 0 nP P nnn , 所以 0 P 为E 的聚点,这与条件 A P f P f nnE PP P ) ( lim ) ( lim0不符,矛盾,故假设不成立,即有A P fE PP P) ( lim0推论 3.1[1]设 D E 1 , 0 P 是 1 E 的聚点.如果 ) ( lim10P fE PP P不存在,那么 ) ( lim0P fD PP P也不存在.推论 3.1是定理 3.1 的逆否命题,故由定理 3.1 成立,则推论 3.1也成立.推论 3.2[1]设 1 E , D E 2 , 0 P 是它们的聚点,如果存在极限1 ) ( lim10A P fE PP P, 2 ) ( lim20A P fE PP P,但 2 1 A A ,那么 ) ( lim0P fD PP P不存在.推论 3.3[1]极限 ) ( lim0P fD PP P存在的充要条件是：对于 D 中任一满足条件 0 P Pn 且 0 lim P Pnn 的点列 n P ,它所对应的函数列 ) ( n P f 都收敛.证 必要性 设 A P fD PP P) ( lim0,令 D P E n ,由 0 P Pn , 0 lim P Pnn ,知 0 P 为E 的聚点,故由上面已证的定理 1,即可得A P f P f P f nnE PP PD PP P ) ( lim ) ( lim ) ( lim 0 0.充分性 设当 D P P n 0 , 0 lim P Pnn 时,有 A P f nn ) ( lim 收敛.首先,应说明得是上面的极限是唯一的.采用反证法：假设 D Pn ) 1 (, D Pn ) 2 (, 0) 2 ( ) 1 (lim lim P P P nnnn ,A P f nn ) ( lim ) 1 (, B P f nn ) ( lim ) 2 (.但 B A ,则对于给定的 020 A B , N N ,当 N n 时,有) (2) () 2 (0 0) 1 (n n P f BB AA P f .故发生矛盾,即假设不对,所以 B A .其次,利用类似于定理 3.1充分性证明中采用的反证法可证 A P fD PP P) ( lim0.四．关于二重极限与累次极限存在性的相关定理及其应用定 理 4.1[1]如 果 ) , ( y x f 在 点 0 0 , y x 存 在 二 重 极 限 ) , ( lim ) , ( ) , ( 0 0y x fy x y x 与 累 次 极 限 y x fy y x x, lim lim 0 0 ,那么它们必相等.证 设A y x fy x y x) , ( lim ) , ( ) , ( 0 0, （1）
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