微分中值定理及其应用
毕业论文关键词： Rolle中值定理；Lagrange中值定理；Cauchy中值定理；应用
微分中值定理是指罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.对于微分中值定理在微积分领域的地位，这个我们是不需要置疑的，并且在很多的方面微分中值定理都有着非常重要的应用.本文将系统地对微分中值定理及其应用进行归纳总结，分析微分中值定理的具体内容及其之间存在的关系，重点分析整理微分中值定理解决的各类实际的数学问题并举例说明，使我们更加清楚地了解其所具有的实际意义.
1 微分中值定理及其之间的关系
1.1 微分中值定理的具体内容
下面我将首先要介绍的就是三个微分中值定理的具体内容，主要就是包括它们成立所需要的条件以及得出的结论.
定理1[1] （罗尔（Rolle)中值定理）若函数 满足如下条件：
（i) 在闭区间 上连续；
(ii) 在开区间 内可导；
（iii) ,
则在 内至少存在一点 ，使得
.
定理2[1] （拉格朗日（Lagrange)中值定理）若函数 满足如下条件：
（i) 在闭区间 上连续；
(ii) 在开区间 内可导；
则在 内至少存在一点 ，使得
.
定理3[1] (柯西（Cauchy)中值定理）设函数 和 满足如下条件：
（i)两个函数在 上都连续；
（ii)两个函数在开区间 内都可导；
（iii) 和 不同时为零；
（iv） ，
则存在 ，使得
.
1.2 微分中值定理之间的关系
通过对以上三个微分中值定理具体内容的了解，分析三个微分中值定理成立的条件以及得到的结论，我们不难发现三个微分中值定理之间存在着如下图1所示的关系.[2]
由以上的关系图，我们可以得出这样的结论：罗尔定理是微分中值定理的基础，由它我们可以推广出拉格朗日中值定理，只需要在两个端点的函数值不一样的时候就可以了.而拉格朗日定理则是微分中值定理的关键所在，它与其他两个定理之间都存在着联系,当 时，罗尔定理就是它的一个特例，而当我们将它从一个函数推广到两个函数的时候，它就推广成为了柯西中值定理.
2 微分中值定理的应用
2.1 罗尔中值定理的应用
2.1.1 关于方程根的存在性问题
在我们所学习的方程中，当我们研究方程的根的问题的时候，除了一些简单的、低阶的方程根容易求解之外，当我们遇到一些复杂的方程的时候，如果我们需要讨论这个方程的根是否存在时，我们往往都会不知道如何去解决.而我们现在讨论的罗尔中值定理，在解决一些复杂方程的根的存在性问题方面有着很大的作用，它启示了我们可以将方程与函数联系在一起，从函数导数的角度去研究方程的根的存在性问题.同时，这类问题的解题步骤也很简单，一般解题过程是：了解命题条件 构造辅助函数 验证 满足罗尔中值定理的成立条件 得出命题结论.[3]
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