拉格朗日插值公式的误差估计
毕业论文关键词 拉格朗日；比较；(非)均匀40031
1.引言
一般来说，在实际生活的应用中，我们通常不能完全了解所有的资料，不论是三角还是多项式，还是立体大楼的所有数据，统统不可能做到尽全尽美，为此就有了拉格朗日插值法估计所有数据的方法，我们只要知道部分点的信息就可以拟合出整个函数的曲线，从而方便有效的进行处理，然而我们又如何估计这些伪数据的可靠性呢，为此我们下面就要进行一番讨论了.插值法是利用函数f(x)在某区间内插入若干点的函数值,作出适当的特定函数,再在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值,这种方法称为插值法.其目的便就是估算出其他点上的函数值.而拉格朗日插值法就是一种插值法.
2.拉格朗日插值公式
一般来说，利用泰勒展开在f (x)的展开中心附近构成最好逼近，然而离开中心时，由于R(x)的误差变大而变的不太理想.对于这样中心点的逼近，可以归结为是一个实轴上的某个有限区间的全体的一致逼近的问题，其中最有效的方法就是进行插值和下面我们将要提到的多项式
的展开.
设逼近的函数是f (x)，在实轴上有 个不同的点 称这些点上与f(x)的值相一致的一个连续的近似式是 插值公式（见下图），使得：
（1）
这些点我们称之为节点.
这里考虑用多项式构成的插值.若个 节点全都相异，插值公式 根据式(1)可知至
多是 次多项式且是唯一的,设其为
(2)
其中 至多是 的 次多项式.为 使满足(1)式，显然 必须满足以下条件.
（3）
该多项式是由下式唯一给出的： （4）
其中 . （5）
将此结果代人(2)式可得如下定理：
定理1 定义f（x）是一个连续函数由所给一个相异的节点 所给出的多项式插值公式是:
（6）
插值公式(6)称为拉格朗日插值公式， 是 (6) 中 的系数，所以称其为拉格朗日插值系数，请注意，拉格朗日插值公式是关于 的线性形.
3．拉格朗日余项与误差计算
拉格朗日余项（Lagrange Form of the Remainder）的运算首先涉及泰勒公式，其内容如下：给定一个函数 ，若可以将其展开幂级数 的形式如下：
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