摘要本文首先引入了拉式定理的概念,并通过图像说明了该定理的几何意义。然后,通过构造辅助函数法、极坐标转换法、区间套定理证明法这三种方法分别对该定理进行了证明。最后探讨了如何将拉氏定理运用在函数的极限问题中,并举出具体的例子进行了分析。83489

关键词:辅助函数法;极坐标转化法;区间套证明法;极限;应用。

The Proofs of Lagrange’s Mean Value Theorem and It’s Application in the Limits of Function

Abstract: At first, this paper gives the Lagrange’s mean value theorem, on the basis of that, the geometric meaning of Lagrange’s theorem is given。 Second, using the methods of constructing auxiliary function, the polar coordinates conversion and the theorem of nested interval, we proof Lagrange’s Mean Value theorem, respectively。 Finally, we give some examples of application of Lagrange’s theorem in the function limits。

Key words: auxiliary function；polar coordinates transformation method；interval sequence proof method；limit；Application。

目录

摘要 1

引言 2

1。预备知识 3

1。1定理的内容 3

1。2定理的几何意义 3

2。定理的证明 3

2。1构造辅助函数法 3

2。2 极坐标转换法 9

2。3 区间套定理证明法 10

3。定理在函数极限中的应用 12

结束语 17

参考文献 18

致谢 19

拉格朗日中值定理的证明及其在函数极限中的应用

引言

拉格朗日中值定理(以下简称拉式定理)作为微积分学的一个基本定理,不仅在研究函数和变量之间的关系上发挥了重大的作用,而且也为学习导数架起了桥梁。如今该定理与人类的学习和生活各方面都息息相关,目前广泛应用于经济领域,它作为研究经济问题的有力工具,为经济预测和经济决策都提供了新的手段。

目前,许多文献都对拉氏定理作了全面深入的研究,文献[1][4][6]主要通过借助辅助函数,并利用Rolle定理对拉氏定理进行了证明；[2][3][5][7]主要从几何意义、坐标转换等方面证明了拉氏定理,并通过例题对该定理的应用作了说明；[9][12]主要通过极坐标转换法、三角形面积法、区间套法阐述了该定理；[8][10][11]主要对在函数极限中如何运用拉氏定理作了详述。

本文首先给出拉氏定理的概念,并通过图像直观地说明该定理的几何意义,接着分别通过构造辅助函数法、极坐标转换法、区间套定理证明法等三种方法对其进行了证明,最后探讨了如何运用拉氏定理求函数的极限,并通过例子对其进行了说明。论文网

1。预备知识

1。1定理的内容

定理1 [2] 若函数满足以下条件

1）在闭区间上连续；

2）在开区间内可导；

则在内至少存在一点 ,使得 。

1。2定理的几何意义

在满足定理条件的曲线上,总存在一点,使得其在点的切线与连接曲线两端点的弦平行。

2。定理的证明

2。1构造辅助函数法

本小节我们利用几种不同的辅助函数来证明拉氏定理。首先引入罗尔(Rolle)中值定理[2]。(下文中均简写为Rolle定理)