摘要1.利用数学方法描述了单个小球的微振动.2.分别利用数学和物理方法描述了两个小球的耦合微振动.3.描述了 ( 很大)个小球的耦合微振动,并将之与弦振动相联系,从而给出了波方程的通解.4.分析了弦振动模型并由此推导出波方程.5.利用矩阵对角化方法给出了求波方程通解的另外一种解法.6.利用同样的矩阵对角化方法求出了Laplace方程的通解47918.

Abstract

1.Describe the oscillation of a single small ball by using mathematical methods.

2.Describe the coupled oscillations of two small balls by using mathematical methods and physical methods respectively.

3.Describe the coupled oscillations of  (where   is large) small balls and relates it to the problem of vibrating string,which results in a general solution to the wave equation.

4.Analyse the model of the vibrating string,from which we deduce the wave equation.

5.Give another approach to the general solution of the wave equation by using matrix diagonalization method.

6.Give the general solution to the Laplace’s equation by adopting the same matrix diagonalization method .

毕业论文关键词：  耦合振动; 弦振动; 波方程；Laplace方程； 矩阵对角化；

Keywords: coupled oscillations; string vibration; wave equation；symmetries;Laplace’s equation；matrix diagonalization；

目    录

第一节:论文结构 4

第二节:一个小球的微振动 4

第三节:两个小球耦合微振动问题的数学解法 5

第四节:两个小球耦合微振动问题的物理解法 6

第五节: ( 很大)个小球耦合微振动的性状分析 8

第六节:对弦振动模型的分析 11

第七节:波方程的通解 14

第八节:利用解波方程的方法解Laplace方程 16

参考文献 18

致谢 18

（一） 论文结构

本文的主要构思是,先分析均匀分布在弦上的 个等质量小球的微振动.第（二）、（三）、（四）节考察 的特殊情形,是作为热身使用,使得我们迅速熟悉问题的情境,以及熟悉相关的符号.然后在第（五）节分析当 足够大时, 个小球振动的性状.我们在第（五）节的分析得出的结论是,当 足够大时,所有的小球的微振动的周期将趋同.在第（六）节分析了弦振动模型,弦振动模型是第（五）节里均匀分布的 个等质量小球振动模型中,当 时的极限状况.由弦振动模型我们推出波方程.第（七）节表明,可以由第（五）节中分析出来的结论导出波方程的通解形式.然后我们用另外一种方法——矩阵对角化方法来推导出波方程的通解形式.作为尾声,我们用求出波方程通解的矩阵对角化方法解出了Laplace方程.

顺便值得说明的是,波方程和Laplace方程都是重要的二阶线性偏微分方程.都是Fourier分析的源头.前者是Fourier分析的力学根源,后者是Fourier分析的传热学根源.但是由于时间和篇幅所限,本文略去了这两个方程与Fourier分析的进一步关联.

（二）一个小球的微振动 

如图1.在没有重力的地方,水平地悬挂着一条有弹性无重量的柔软细弦.弦的两端固定,弦的正中央系着一个小球 .以弦所在的直线为小球的 轴, 轴的正向往右.以垂直于 轴的某条直线为 轴, 轴的正向往上,且 轴上所有点的 坐标为 .