摘要:结合举例，阐述和探讨了适合用闭区间套定理来证明的问题的特点，系统地总结出应用闭区间套定理证明命题的技巧和规律.

毕业论文关键词：闭区间套定理，证明，技巧.56260

Abstract：Combined with the example, elaborate and explore the characteristics suitable for closed nested interval theorem to prove the problem, conclude the application of closed nested interval theorem proving techniques and rules of proposition systematically.

Key words：The closed interval theorem，proof，technique.

目录

1引言 4

2利用闭区间套定理证明命题的经典方法 4

2.1柯西收敛准则的证明 4

2.2聚点定理的证明 5

3利用闭区间套定理证明命题的技巧和规律 6

3.1 寻找一个具有某种性质 的点(数) 6

3.2 由某一已知的局部性质去证明某一整体性质 10

结   论 12

参考文献 13

致 谢 14

1引言

    实数系的连续性是分析学的基础，对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性.实数系 的连续性，从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但是从分析学的角度阐述，实数系的连续性有多种表述方式且彼此等价，因此可以被相互推证.在大部分的文献中都是采用循环证明的，本文是以闭区间套定理为基点来证明其他定理.实数系的连续性是区别于有理数系的一个特征性质，作为实数系连续性表述之一的闭区间套定理在分析数学中无疑起着非常重要的作用.闭区间定理是指： 

    如果一列闭区间 ， ，…， …满足下列条件：

则存在唯一的一个数 属于所有闭区间  .

闭区间套定理是整个数学分析的难点内容，用其证明命题更是抽象难懂，叫人“无从下手”.为了对闭区间套定理有更深的理解和认识，本文总结和探讨利用闭区间套定理证明命题的技巧和规律.

2利用闭区间套定理证明命题的经典方法

本节我们先来回顾一下我们的教材数学分析 用闭区间套定理证明柯西收敛准则、聚点定理的经典方法.

2.1柯西收敛准则的证明

柯西收敛准则：数列 收敛的充要条件是：对任给的 ,存在正整数 ,使得当 时有 .

    证 按假设，对任给的 ，存在 ，使得对一切 有 ，即在区间 内含有 中几乎所有的项（这里及以下，为叙述简单起见，我们用“ 中几乎所有的项”表示“ 中除有限项外的所有项”）.

 据此，令 ，则存在 ，在区间 内含有 中几乎所有的项.记这个区间为 .

 再令 ，即存在 ，在区间 内含有 中几乎所有的项.记 ，它也含有 中几乎所有的项，且满足 及 .继续依次令 ，照以上方法得一闭区间列 ，其中每个区间都含有 中几乎所有的项，且满足 ， ，即 是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数 .源'自:优尔-'论/文'网"www.youerw.com

    现在证明数 就是数列 的极限.事实上，由区间套定理的推论，对任给的 ，存在 ，使得当 时有 .因此在 内含有 中除有限项外的所有项，这就证得 .

2.2聚点定理的证明

  聚点定义：设 为数轴上的点集， 为定点（它可以属于 ，也可以不属于 ）.若 的任何邻域内都含有 中无穷多个点，则称 为点集 的一个聚点.