1.1.1  复积分定义

在介绍留数定理之前首先需要了解复变函数积分。复变函数的积分是复变函数中的重要内容，也是研究解析函数的一个重要工具。                            [5]

在本文中所提到的曲线除特别声明外都是指的光滑或逐段光滑的，因此所提到的周线也是可求长的。对于所提的周线指出其起点和终点，同时逆时针方向为正方向，而顺时针方向为负方向。

定义1：设有向曲线 :

以 为起点， 为终点， 沿 有定义。顺着 从 到 的方向在 上取分点：

把曲线 分成若干个弧段。在从 到  的每一段弧上任取一点 。做成和数

                   ，

其中 。当使分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数 的极限存在且等于 ，则称 沿 （从 到 ）的积分，并以记号 表示：

                   。

 称为积分路径。 表示沿 的正方向的积分， 表示沿 负方向的积分。

1.1.2 引入柯西积分定理 

首先介绍两个复积分，第一个在积分 （ 表示连接 与 的任一曲线），被奇函数 则是在整个平面上处处解析，该函数在连接点 与 的任一曲线上的积分相同，即函数 在 平面上的任意周线的积分值为零。第二个积分 （ 表示以 为圆心 为半径的圆周），其中被积函数 只有 这一个奇点，即函数 在 平面上除 点外处处解析。当 时积分值为 ，当 为不等于1的任意整数时积分值为0。在这里两个函数在任意闭曲线上的积分值与路径无关但是积分值不都为零。

由此，复积分的值与积分路径是否有关，或沿区域闭曲线的积分值为零的条件是什么？1825年柯西提出了柯西积分定理给出了上述疑问的回答，同时柯西积分定理也成为研究复变函数的重要工具。

1.2  研究目的

柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础是研究复变函数理论的关键，许多重要的性质定理都由它们直接或间接推导出来的.柯西积分定理是复变函数积分的基础，也是连接其它其他学科的枢纽，对其研究具有较强的理论价值和现实意义.柯西积分公式是复变函数论中的重要公式之一，无论对解析函数的理论研究还是它的直接应用,都是非常有意义的.而留数理论也可以说是柯西积分理论的继续，留数在复变函数理论本身及实际应用中都很重要。它和求解周线积分的问题有密切关系。应用留数理论可以解决很多实际的积分计算问题。

本文研究的问题首先是柯西积分定理和柯西积分公式与留数定理的关系。其次研究留数理论中关键基础留数的 算法，包括某些特殊奇点处留数的求解方法。最后研究使用留数理论计算定积分及其特殊优势。文献综述

2  柯西积分定理与柯西留数定理

留数理论可以看成柯西积分理论的继续，柯西积分定理与留数定理作为两者各自的关键基础定理也有着密切关系。

2.1  柯西积分定理与柯西积分公式 

柯西积分定理是柯西积分理论中最重要的基础定理，由此定理派生出解析函数的许多性质，下面给出几个关键定理：

定理2.1.1（柯西积分定理） 设函数 在 平面上的单连通区域 上解析， 为 内任一条周线，则 。                                           [4]