定理2.1.2  设函数 在 平面上的单连通区域 内解析， 为 内任一闭曲线（不必是简单的），则 .

引理2.1.3  设 是在单连通区域 内的解析函数，设 为 内的一个多角形的周界，那么 。

推论1  设函数 在 平面上的单连通区域 内解析，则 在 内的积分与路径无关.即对 内任意两点 与 ，积分 之值，不依赖 内连接起点 与终点 的曲线.

定理2.1.4  设 是复周线 所围成的有界 连通区域，函数 在 内解析，在 上连续，则 .

或写成                           

或写成                                  [4]

柯西积分公式是解析函数的积分表达式，是研究解析函数的重要工具．由柯西积分公式，我们可以从解析函数的边界 上的值推出它在 内部的一切值，它反映出解析函数的特性,是解析函数论中最基本的公式．  

定理2.1.5  设区域 的边界是周线（或复周线） ，函数 在 内解析，在 上连续，则有   .

此式反映了解析函数值之间很强的内在联系： 在曲线 内任一点 的值 可以由 在边界曲线 上的值来决定，而实函数却不具有此性质.

定义2.1.1    来!自~优尔论-文|网www.youerw.com

上式称为柯西积分，且有   

由柯西积分公式在积分号下求导数,可推测并能证明下面的高阶导数公式.

定理2.1.6  设区域 的边界是周线（或复周线） ，函数 在 内解析，在 上连续，函数 在区域 内有各阶导数，并且有

     .

这是一个用解析函数 的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式.

2.2  引入留数

留数理论是柯西积分理论的继续,留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的,此外应用留数理论我们已有条件去解决大范围的积分计算问题.