数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系，并通过一定的方式表 达出来的一种表达方法.是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切 的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更 好的理解事物的本质和内涵.我们说将按一定的顺序排列的一列数可以称为数列，那么， 数列{an } 的第 n 项用一个具体式子表示出来，这个称为该数列的通项公式.正好如函数的

解析式一样，通过代入某个具体的 n 值便可求知相应

项的值.而这个数列通项公式的求

法，一般情况下是由其递推公式经过很多变换得到.这是关于通项公式的最简单定义. 通项公式简单来说就是一个数列的规律，求出了通项公式我们就能根据规律写出数列.假 设数列的第 n 项与序号之间的可以用一个式子来表示，我们可以得出这个公式叫做这个数 列的通项公式.任意一个数列的第 n 项与其项数 n 之间的某种关系就可用式子来表示，简 单的说就是一个数列的规律，一旦有了通项公式就可以求出数列.这就像函数的解析式一

样，通过代入特定的 n 值那么就可求知相应

项的值.而数列通项公式的求解方法，一般

情况下就是由它递推公式经过许多变换得到.求解过程本质就是一个把已知得条件渐渐地 化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，这样就可以求出通项公 式.本文通过列举几种常见的数列通项公式的求法，得出一些解题的基本技巧.

2 预备知识

定义[1] 按某种顺序排成的一列数叫数列.而且，数列里的每一个数都称做这个数列 的项.

假设一个数列的第 n 项

与这个数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个

关系就称为该数列的递推公式.通项公式是要用科学的系统的计算方法来求证的，其中要 用到各种公理，定理，及各种计算方法.

定义 2[2] 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差.

定义 3[3] 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则 称此数列为等比数列.这个常数就叫做公比.

定义 4[4] 可以通过给出数列(按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）.数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为 这个数列的第 n 项.给出数列的某一项与它的前一项（或前若干项）的关系式来表示数 列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表示法，它 包含两个部分.来!自-优.尔,论:文+网www.youerw.com

定义 5[5] 方程 f (x) x 的根称为函数 f (x) 的不动点.

利用递推数列 f (x) 的不动点，可将某些递推关系 an  

数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.

f (an1 ) 所确定的数列化为等比

定 理 1 若

f (x) ax b(a 0, a 1),

p  是 f (x)

的 不 动 点 ， an

满 足 递 推 关 系

f (an1 ), (n 1) ，则 an p a(an1 p) ，即{an p} 是公比为 a 的等比数列. 证明 因为 p 是 f (x) 的不动点，

因为 ap b p ，