（二）求解方法多样

求极限的题目类型广泛，而求极限的方法非常多样，方法灵活多变技巧性强。常用的方法就有很多，例如利用夹逼法则求极限，利用洛必达法则求极限，等价无穷小量代换求极限等等。不同的方法适用的情况不同，并且有许多方法存在运用时需要特别注意的问题或使用误区。往往两个问题的模式相似，却不能生搬硬套，照搬将解题方法迁移使用。当不符合适用的范围时，即使看起来完全相似的题目，解决的方法却大不相同。同时，同一个问题往往有多种方法可以解决，有些方法显得思路清晰，有些方法显得中规中矩却大大增加了复杂程度，有些方法则是巧妙有新意，如何选择最便捷的解决方法也值得思考。所以应当对求极限的方法进行综合的总结思考以及归纳探讨，深入理解求极限问题，掌握各类方法与技巧。这样才能深入掌握各个方法的精髓，正确又快速的解决求极限的问题。

二、求极限的常用方法及举例说明

（一）利用定义证明极限

利用定义多适用于验证某个结果是否为所求的极限，往往不能直接求得极限。平常一般很少会用定义来直接求解极限，同时，该方法在某些情况下，例如在字母较多的情况下，并不一定是最优最简便快速的方法，在后文会提到某类可以用定义法来验证，但是用其他方法可以更加方便的解决。有时也会涉及到放缩的问题，而适当的放大与缩小需要一定的技巧。

1。数列极限

我们引入数列极限的定义，然后用定义可以证明许多求极限问题。

定义1[1]：设 为数列， 为定数。若对任给的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时有

则称数列 收敛于 ，并记作

例1:考虑数列 ，这里 为大于 的任何常数，证明

解：记 ，

则 二项展开

 ，

可得不等式

对于任意给定的正数 ，由不等式

可解得 ，故 可取 。

例2：证明：

解：由

对任意给定的正数 ，只要

便有

即当 时，上式成立。又由于是在 的条件下成立的，故应取

2。函数极限

下面我们先引入函数极限的概念，然后再利用定义解决问题。

定义2[1]： 为定数，若对任给的 ，存在正数 ，使得当 时总有

则称函数 当 趋于 时以 为极限，记作

 为定数，若对任给的 ，存在正数 ，使得当 时总有

则称函数 当 趋于 时以 为极限，记作

例3：证明：

解：

即要找到一个正数 ，使得对任给的正数 ，得当 时有

即

要满足以上条件，反解出 的范围即

那么当 取 时就能保证对任给的正数 ，当 时有

也就证明了 的结果为 。

例4：证明

解：任意 ，

等价于

不等式左半部分显然成立，因此只需关注右半部分，先限制 ，则有

故对任意给的正数 ，只须取 ，则当 时，

成立。

函数极限还有以下的定义形式。

定义3[1]：（函数极限的 定义）设函数在点的某个空心邻域 内有定义， 为定数，若对任给的 ，存在正数 ，使得当 时有

则称函数 当 趋于 时以 为极限，记作

例5：证明

解：即要找到 ，使得当 时，

左端为

考虑 的某一邻域 ,即 , ,于是

那么当 时，上式右端就小于 ，故取 

这时当 时，就有  。

（二）利用夹逼准则求极限