例1 设 ，求证

 。

当且仅当 中有两个为零，另一个为 中的任意数，或者当 不全为零且不为零的数都等于1时，取等号。

证明 因为 ，不妨设 ，则

             。

说明  例题中的不等式的左边是关于 的对称式，将不等式进行以下推广。

（1）可将本题推广到四个变量的情形

设 ，求证

 。

证明 设  ，则

        。

（2）可将本题推广到 个变量的情形 

设    ，记  ，则 。文献综述

例2 已知  ，  ， ， ，

求证

 ，

当且仅当 时等号成立。

证明       

           ，

即

  ，

从而可得到 

 。

（1）将本题推广到三个变量

已知 ， ， ，   ，

求证

 。

证明 运用上面类似的方法有

                  。

从而证得

 。

（2）将本题推广到 个变量

若  ，  ，  ，则

  ，

当且仅当 ， ， 时，等号成立。

注意到这里有

      。 （此结论见文献[1] ）

2。2 用数学归纳法证明不等式

在数学竞赛中有许多与自然数 有关的不等式，我们可采用数学归纳法来证明，但值得注意的是在运用数学归纳法时通常还会结合其它方法才能证明出不等式。

例3 设 是互不相同的正整数，求证

 。

证明 （1）当 时，不等式左边 右边。

     （2）设当 时不等式成立，那么当 时，

不等式右边 

      。

因为

                 ，

所以右边 

          左边。

由（1）（2）知，对一切 ,不等式都成立。

例4  已知 ，求证  。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

证明（1）当 时， ，不等式成立。

    （2）设当 时，不等 式成立，

那么当 时，