1。2  课题的任务与要求

本课题主要任务有：一、查找文献；二、掌握不同类型的积分中值定理的形式以及定理中值点的再认识；三、总结积分中值定理的应用。要求归纳总结不同类型的积分中值定理形式，对中值点有深一步的认识，最后总结积分中值定理在数学解题中的应用。

2 积分中值定理

2。1  积分第一中值定理及推广

积分第一中值定理：若函数 在 上连续，则在区间 上至少存在一点 使得

 [1]

推广的积分第一中值定理：若 与 都在 上连续，且 在 上变号，则至少存在一点 ，使得

 [1]

2。2积分第二中值定理及推论

积分第二中值定理：

设函数 在 上可积。

     若函数 在 上减,且 ,则存在 ,使得

 若函数 在 上增，且 ,则存在 使得

  [1]

2。3各种形式积分中值定理的联系和区别

一、联系

1、积分第一中值定理是推广的积分第一中值定理一种特殊情况，即推广的积分第一中值定理中 时即为积分第一中值定理。

2、积分中值定理形式都要求积分区间为闭区间。

3、积分中值定理结果都是在闭区间上至少存在一点。

4、推广的积分第一中值定理和积分第二中值定理均要求函数 在闭区间 上可积。

二、区别

1、积分第一中值定理只有一个函数，而推广的积分第一中值定理和积分第二中值定理都有两个函数。

2、积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理要求 在闭区间 上连续，而积分第二中值定理及其推论要求函数 在闭区间 上可积。

3、中值点在公式中位置不同，积分第一中值定理是作为函数 的自变量，而在积分第二中值定理及其推论中是作为函数的上限和下限的。

2。4关于积分中值定理中值点的一个问题及应用

积分中值定理是被积函数 在闭区间 连续的条件下得出至少存在一点属于闭区间 使得式子 成立的结论，有时利用该定理解决问题 能否在两端点取值至关重要，若加强被积函数条件可得到 的结论，而这一结论对形如 这一问题证明中较为有效。文献综述

积分第一中值定理（条件加强):若函数 在区间 上连续且严格单调，则至少存在一点 使得式子 成立。

证明：不妨假设 严格单调递减（如图1-1所示）显然有       

  即  由积分第一中值定理可得至少存在一点 使得               图1-1

           成立。      将 代入 得到

      三边同时除以 得到 

      又因为 在 上连续且严格递减，故有 

      结论得证。

下面看两个例题：

例题1、证明 

证明：由积分第一中值定理可得

两边取极限得

在例1中 或 均成立，并不影响结论，下面我们再看一个例子。

例题2、证明 

分析：因为被积函数 由积分第一中值定理可得至少存在一点 属于 使得

        成立。

而 矛盾，其原因是取到了闭区间右端点1。

证明：因为被积函数 在 上可导。对