含有 Kicking 条件的线性 Bregman 方法 16

7。总结与展望 18

参考文献 19

致 谢 21

1。 引言

图像处理是图像科学中的一个基本环节，而图像恢复则是图像处理的基本问 题之一。图像恢复主要研究的是：建立图像恢复模型，以及求解建立的模型的快 速算法。在本文我们将主要研究 Bregman 迭代算法，和线性 Bregman 方法，及 其在线性 Bregman 方法约束优化问题中的处理效果。例如,线性 Bregman 在全变 差（ TV ）去噪问题中的应用。

图像去噪就是去除图像噪声获得干净图像的方法，该方法可以应用在较广的 领域。例如，在卫星图像去噪中，如果可以去除卫星图像噪声，便可节省国家每 年数以亿元的科研支出。在医疗科技比如：MRI 成像、CT 成像中。应用去噪算法对 图像进行适时处理，则可帮助医疗工作者精确确定病灶，减少人民医疗开支。因 为日常生活中们遇到的图像不止一幅，常常是多幅，例如：数码相机照片、电影 等。所以，改进和提出高效，快速的图像去噪算法是非常有意义的事，本文将基 于图像去的 ROF 模型，对 Bregman 方法和线性 Bregman 方法进行研究分析，并 将线性 Bregman 方法应用在图像去噪中。

令 f 为一幅带有噪声图像， f : R ，这里 是 R2 的一个开子集。 则图像

f  可分解为如下模型[2,3,4,5,6,7,8 等]：

这里的 u 是理想的干净图像， n 是噪声。 对于上述的模型，图像处理专家为了找到它的稀疏解，提出了很多数学模型

（最小二乘，PDE 模型，统计，傅里叶分析，小波分析)。但计算结果都还是不太 理想，其主要原因是这些方法保持不了图像中的间断。 1992 年 Rudin、Osher  和

Fatemi 提出将解 1。1转化为解代约束条件 u

的极小[1]，记为：

上述问题是一个约束优化问题，将这个约束问题转化为无约束问题可得：

文章[1]将 Rudin，Osher，和 Fatemi 提出的 ROF 模型重新定义为：

这里的参数 0 ， BV () 是定义在 上地 BV 函数空间。 是定义的 BV 范数， 其形式为：

在文章[1，2，3，4]中也称为 u 的全变差（Total Variation）。但是由于 ROF 模型 是比较久的模型，且在实际恢复的效果看，还是很不理想。基于此缺点，之后很 多图像处理专家在 ROF 模型的基础上进行改进。在文章[2]中 S。OSHER，M。 BURGER, D。GOLDFARB 等提出了 Bregman 方法。在文章[2]中提到，由于算子

以其可微性和严格的凸性非常诱人，如果替代公式(1。1)中的第一项，这样可使 第一项具有较好的可微性。但实质上是不可以的，主要原因是当 p 1，J p 的可微 性相当于二阶非退化椭圆方程，而且在最佳条件下具有光滑性。然而对于全变差,

上述算子是退化的而且仅仅只对图像的水平方向起作用。 文章[3]主要工作是设计一个迭代正则化程序，以改进 ROF 的恢复效果。为

了得到（1。1）的极小值 u ，利用 Bregman 距离 Du, v,我们将在背景知识 2。3 中介绍。其中 u 和 v 之间的距离与函数 J 有关，文章[2，3，5，6，7 ]中将 ROF 模型改进为

uk  arg min{D(u, uk 1 )} ， (1。2)uBV ()

由上模型得到的序列{ uk }单调的收敛至 f ，从而去除图像噪声。然而，随着 k 增 加，取充分小的值则 uk 逐渐减小趋近于 u，u是无噪图像。我们给出改进后的 TV 去噪模型