（3）对 n 1,2,， TV (un ) TV (u) ，且其迹 gn g 。 证明见[5]。

引理 4：(BV 的弱紧性[5])设{un }为 BV () 中的有界序列，其中  是一个 Lipschitz

区域，则此序列在 L1 中存在收敛的子例。

2。3 Bregman 距离定义及其性质

2。3。1 Bregman 距离

定义6：([9])设 J () 是一个凸函数， pk J (uk ) ,则 u 和 uk 两点之间的距离定义 为：

D(u, uk ) :J (u) (J (uk ) 

称为：Begman 距离(见[9])。

Bregman 距离跟平常我们提出的距离不同，因此与平时提的欧式距离有一定 的差别。如图 2。1 是 Bregman 距离的定义示意图,从图中即可看出差别。

图 2-1 Bregman 距离示意图

2。3。2 Bregman  的距离性质[2]

引理 5： D(u,u) 0 。 证明：

D(u, u) :J (u) (J (u) 

引理 6：如果u, v 并且 p f v，则 Dp u, v0 。文献综述

证明：

由 p 的定义可知 p f v为次微分，再根据次微分的定义容易得出此结 论。 事实上，因为 p f v，则有

J uJ v

p, u v

0 ，所以

Dp u, vJ uJ v

p, u v

0 。□

引理 7：任给 w v, u， D(u, v) D(w, v) 。

证明：因为 Dp u, vJ uJ v差所以有：

从而 Dp u, vJ uJ v

p, u v 。□

引理 8：(非对称性) Dp (u, v) Dp (v, u) ，且 p J (u) J (v) 。

J J

证明：因 p J uJ v，所以有： Dp u, vDp v, u

3。 Bregman 方法

3。1 Bregman 迭代算法的提出

文章[2]S。 Osher, M。 Burger, D。 Goldfarb, J。 Xu, and W。 Yin。提出 Bregman 方法 求解模型(1。1),将(1。1)式改写为

min{J (u) H (u, f )}， (3。1)

称为保证项。

J (u) :u TV (u) u , (3。2)

称为正则项。 K : L2 () H 是边界线性算子，H 为 Hilbert 空间。 是紧的凸集， 当 u 时 J : R ， H : R 为非负凸函数。当 f 固定，设 H (u, f ) 可微，则 可针对模型（3。1）进行编程求解。这里 f 可以是向量或矩阵。 为了求解(3。1),[2]利用 Bregman 迭代正则化处理，得到来,自,优.尔:论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-

uk 1 min Dp  (u, uk ) 

2，k 0,1,2, (3。4)

u J 2

在(1。1）尽管 TV (u) 在任一点都不可微，但是 TV (u) 存在次微分，但是对（3。4） 中 的 uk 进 行 优 化 ， 则 0 J (uk ) pk uk 1 b ； 因 此 S。 Osher, M。 Burger, D。

Goldfarb, J。 Xu, and W。 Yin。令