这里 0 。求解模型(1。3)的算法有很多种,本文主要研究线性 Bregman 迭代快 速算法的收敛性及其在 TV 去噪模型中的应用。

下面本文将对 Bregman 迭代快速算法,线性 Bregman 迭代快速算法进行详细 研究,包括上述两种算法的收敛性分析,并将其应用在图像去噪模型中,并对线 性 Bregman 迭代快速算法对图像处理的效果进行分析。

2。 预备知识

2。1 凸集,凸函数,有界变差函数及相关定理简要介绍

定义1:([8]) x, y ,如果 tx (1t) y ,则称 是一个凸集。例如

x,  y|  x2  y2  1就是一个凸集。下文中所有的 都表示凸集。     定义2:([8]) u, v ,如果 f tx 1t ytf x(1t) f y,则称 f x为凸函

数。 例如 y x 就是一个凸函数。

定义3:([5])令 Rn 表示一个有界开集,在图像处理中 通常被称为 Lipschitz

域,当 u 是光滑的,那么他的全变差(TV)定义为

TV (u)    u d , u  (u1 , u2 ,un ) 。

针对函数 u ,如果 TV (u) ,则称 u 是有界变差的。 BV () 代表 L1 () 中所有的 有界变差。

定义4:(下半连续[5])令 J : R ,如果 J 在点 x R 处满足

liminf J xJ (u) 。

xu

则称 J 是下半连续的。或相当于对所有R ,集合{x : J (x) } 是紧集。 定义5:([8])设 f x是 :R 的一个凸函数,如果存在向量 p * ,且有

则称为 p 是 J 在点 v 的次微分, J 在点 v 处的全部的次微分记作 J v。易知次微

分是函数梯度的一种推广。 例如,f xx ,其中 x R 。很明显函数 f x在 x 0

处不可微,但是它在 x 0 处却存在次微分,且 f 00,1。 定义 6:([5])考虑函数 J : R ,如果极限

lim

0

J (u v) J (u) ,

存在,则称上述极限为函数 J 在 u 点 v 方向的方向导数。本文定义为 J (u, v) 。如果 存在 p 使得

J (u, v) p, v ,论文网

存在,则称 J 在 u 点 Gateaux 可微,并称 p 为 u 点关于 J Gateaux 可微。定义为

J u。

引理 1:([4])如果 J : R 在 u Gateaux 可微,则 J (u) {J (u)}。相反地,

如果 J 在 u 点连续, 且仅含有一次梯度, 则 J 在 u 点是 Gateaux 可微 , 有

J (u) {J (u)}。另外,由于 J : R 在 u 有最小值,当且仅当 0 J (u) ,则 有

2。2 有界变差函数的性质

引理2:(下半连续[5]) BV 范数是下半连续的。假设在 L() 中,序列{um }X 收 敛至 u Rn ,则

TV (u) liminf TV (un ) 。 特别地,当{un }BV () 是有界序列,则 u BV() 。

证明:此性质的证明由TV函数的定义即证。事实上对于任意函数 g C1 (, B2 ) ,

 u  gd  lim un  gd  lim  | TV (un ) | 。

n n

对上式取上确界即可证明TV函数的下半连续性。 引理3:(BV函数的磨光[5])任给 u BV() ,则存在序列{un },使得

(1) uC   ,对 n 1,2,;

(2)当 n 时,在 L1 () 中 u  u ;

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