这里 0 。求解模型(1。3)的算法有很多种，本文主要研究线性 Bregman 迭代快 速算法的收敛性及其在 TV 去噪模型中的应用。

下面本文将对 Bregman 迭代快速算法，线性 Bregman 迭代快速算法进行详细 研究，包括上述两种算法的收敛性分析，并将其应用在图像去噪模型中，并对线 性 Bregman 迭代快速算法对图像处理的效果进行分析。

2。 预备知识

2。1 凸集，凸函数，有界变差函数及相关定理简要介绍

定义1：([8]) x, y ，如果 tx (1t) y ，则称 是一个凸集。例如

x,  y|  x2  y2  1就是一个凸集。下文中所有的 都表示凸集。     定义2：([8]) u, v ，如果 f tx 1t ytf x(1t) f y，则称 f x为凸函

数。 例如 y x 就是一个凸函数。

定义3：([5])令 Rn 表示一个有界开集，在图像处理中 通常被称为 Lipschitz

域，当 u 是光滑的，那么他的全变差（TV）定义为

TV (u)    u d ， u  (u1 , u2 ,un ) 。

针对函数 u ，如果 TV (u) ，则称 u 是有界变差的。 BV () 代表 L1 () 中所有的 有界变差。

定义4：(下半连续[5])令 J : R ，如果 J 在点 x R 处满足

liminf J xJ (u) 。

xu

则称 J 是下半连续的。或相当于对所有R ，集合{x : J (x) } 是紧集。 定义5：([8])设 f x是 :R 的一个凸函数，如果存在向量 p * ，且有

则称为 p 是 J 在点 v 的次微分， J 在点 v 处的全部的次微分记作 J v。易知次微

分是函数梯度的一种推广。 例如，f xx ，其中 x R 。很明显函数 f x在 x 0

处不可微，但是它在 x 0 处却存在次微分，且 f 00,1。 定义 6：([5])考虑函数 J : R ，如果极限

lim

0

J (u v) J (u) ，



存在，则称上述极限为函数 J 在 u 点 v 方向的方向导数。本文定义为 J (u, v) 。如果 存在 p 使得

J (u, v) p, v ，论文网

存在，则称 J 在 u 点 Gateaux 可微，并称 p 为 u 点关于 J Gateaux 可微。定义为

J u。

引理 1：([4])如果 J : R 在 u Gateaux 可微，则 J (u) {J (u)}。相反地，

如果 J 在 u 点连续， 且仅含有一次梯度， 则 J 在 u 点是 Gateaux 可微 ， 有

J (u) {J (u)}。另外，由于 J : R 在 u 有最小值，当且仅当 0 J (u) ，则 有

2。2 有界变差函数的性质

引理2：(下半连续[5]) BV 范数是下半连续的。假设在 L() 中，序列{um }X 收 敛至 u Rn ，则

TV (u) liminf TV (un ) 。 特别地，当{un }BV () 是有界序列，则 u BV() 。

证明：此性质的证明由TV函数的定义即证。事实上对于任意函数 g C1 (, B2 ) ，

 u  gd  lim un  gd  lim  | TV (un ) | 。

n n

对上式取上确界即可证明TV函数的下半连续性。 引理3：(BV函数的磨光[5])任给 u BV() ，则存在序列{un }，使得



（1） uC   ，对 n 1,2,;

（2）当 n 时，在 L1 () 中 u  u ；