1。2 国内外研究现状与发展趋势

二、矩阵的基础概念及运算法则

2。1 矩阵的基础概念

矩阵的定义：由m×n个元素有序地排成m行n列的表，并用括号将其括起来，我们称之为m行n列的矩阵，一般简称为m×n矩阵，并记作：

矩阵中一共有m×n个数，每个数都称为矩阵A的元素，简称为元。每个位于矩阵A的第i行第j列的数，我们称之为矩阵A的(i,j)元，而这个m×n矩阵A也记作。

因为有了矩阵的定义，我们可以将线性方程组的写法进行一个化简：

    通过矩阵的方法，我们可以将其化简为：

其中,并且我们一般称A为系数矩阵：

称（A，b）为增广矩阵：

注：增广矩阵是在解线性方程组的时候，针对系数矩阵而变形的一个矩阵，其并不是单纯地在右边添加一列数字，而是在原矩阵的右端增加多一个相等行数的矩阵，而线性方程组对应的这个矩阵的列数刚好是1。

以下给出一些关于特殊矩阵的基本介绍：

    （1）单位矩阵：

（1）零矩阵：（注意：行列数不同的零矩阵是不同的）。

（2）方阵：， m=n。

2。2 矩阵的运算法则

矩阵运算在科学计算中非常重要，而矩阵的基本运算与一般的线性运算大致相同，如矩阵的加、减法和数乘等；但有一些却又略有不同，具有矩阵自身的特征，如乘法、转置和共轭等。接下来我们进行详细说明：

（1）加、减法

     定义：矩阵的加减法一般是指两个矩阵之间相应位置的数字进行加减运算，经过运算后得出一个新的矩阵。

     矩阵的加、减法运算有以下的规律(A，B，C都是行、列数相等的矩阵)：

    注意：只有行列数相等的矩阵才可以进行加、减法。 

举例：

（2）数乘

     定义：即为一个常数与一个矩阵相乘。

     举例：

     矩阵的数乘运算有以下的规律（设α、β为两个任意常数，A为任意矩阵）：

     注意：矩阵的线性运算由加、减法和数乘两个部分组成。

（3）乘法

矩阵乘法的定义是非常严谨的：相乘的两个矩阵的行列数必须相对应，即第一个矩阵的列数必须等同于另一个矩阵的行数。比如A矩阵的行列数分别是m和n；B矩阵行列数分别是n和p，若A和B相乘，则得出一个新的矩阵C，C就是一个m×p矩阵，即，它的一个元素：论文网

    并将此乘积记为：

举例：

矩阵的乘法满足以下运算律：

结合律：

左分配律：

右分配律：

注意：矩阵乘法不满足交换律。

（4）转置

    定义：把矩阵A的行列进行位置互换，即行换成列，列换成行，然后得出一个新的矩阵，这个新的矩阵就称为A的转置矩阵。通常这一过程被称之为矩阵的转置。举例：矩阵的转置运算有以下的规律（设λ为任意常数，B、C为任意矩阵）：

（5）共轭定义：举例：，则。

（6）矩阵的逆

    定义：假如有两个等阶方阵A和B，它们之间有如下关系：

（其中E为单位矩阵）

那么方阵A被我们称作是可逆或者非奇异的，B被称作是A的一个逆矩阵。并且不可逆的矩阵被我们称作为奇异矩阵。A的逆矩阵记作。