鉴于积分上述的缺陷，积分关于函数列的条件宽了非常多。 勒贝格控制收敛定理在积分中占有十分重要的位置，表现出了积分相比较于积分来说非常大的优势。

本文主要内容安排如下：第一部分介绍了积分和积分及其性质，说明了积分与积分的关系，体现出积分的优越性；第二部分论述了勒贝格控制收敛定理，在提出勒贝格控制收敛定理的前面，先阐述积分极限定理中占有重要位置的定理，列维定理和法都定理，进而引出勒贝格控制收敛定理；第三部分在勒贝格控制收敛定理的指导下进步探究其应用，并举出实例来说明该定理的应用。

1。黎曼积分和勒贝格积分论文网

1。1黎曼积分定义

   设有界函数在上有定义[4]

1）分割分化，将添加个分点:将分成个小区间

2）取近似，

3）作和；

4）取极限。 令为细度，若存在，则称它为在上的黎曼积分，记为

1。2 勒贝格积分定义

 设为可测集，为上的可测函数。 令，。 则和都是上的非负可测函数，当时,

。

若和中至少一个有限，则称在上积分确定，称是作为上的勒贝格积分，记。

若和都有限，则称在上可积。 

可测集上可积函数的全体所成之集记作[5-7]。

1。3 勒贝格积分的主要性质

 性质1  设是一可测集，有

（i）若但，则上的任何实函数都在上可积且；

（ii）设在上积分确定且 于，则也在上积分确定且

（iii)设在上积分确定，则在的任一可测子集上也积分确定，又若,这里和都是的可测子集且，则 

（iv)设在上可积，则也在上可积，且。

性质2[积分的绝对连续性] 设是一可测集，，则对于任意的。 存在。 使得对于任意的可测集，只要，就有

性质3[积分的可数可加性] 设为可测集，,这里每个都是可测集且时，设在上积分确定，则

2。勒贝格控制收敛定理

2。1 勒贝格控制收敛定理的引理

设，,。积分论的中心问题是，寻求尽可能方便的条件，使得能从（在某种收敛意义下）推出

即   

以上等式意味着“积分与极限互换”。 这一问题在积分论中解决得很不理想，而在积分论中却有较好的结果[8-10]。

引理1 [ Levi定理]  设为一个可测集，为上的一列非负可测的函数，当时对于任何一个自然数，有，令，，则

证明：显然在上非负可测且，故 。因而           （1）                                       

现在证明相反的不等式，随意取上的一个非负的简单函数使得时。在任意取，我们首先证明

。

令，则是的可测子集，，且  ，

由性质1，，故 。文献综述

由于是任意的，所以再由的任意性，可知

由（1）与（2）得。

引理2  [法图（Fatou）定理]  设为一个可测集，为上的一列非负的可测函数，则

。证明：令 ，。则是上的非负的可测的函数而且时  。

于是有：2。2勒贝格控制收敛定理及其证明

定理（勒贝格控制收敛定理） 设上的一个可测集，为上的一列可测的函数，是上的非负可积的函数，若对于任意的自然数，于并且 于,则

（i） 

（ii） 。

证明：（i）显然在上可测且于。 由于在上可积，每个也在上可积。