Rolle定理若函数满足以下条件

1）在闭区间上连续；

2）在开区间内可导；

3）。

则在内至少存在一点 ,使得

。

方法一 利用待定系数法构造

证根据拉式定理,我们可以令

于是有

。

故据此可构造出一个辅助函数

对该式两端求导得

根据Rolle定理,存在一点 使得

于是

得证。

所以,待定系数法构造辅助函数的步骤为：

1）设出待定系数；

2）将定理中的换作变量,使等式变为函数式；

3）用等式两边的差构造辅助函数。

用这种方法首先需要证明的是,我们已经知道,所以在上满足Rolle中值定理的条件。而与有关,所以由Rolle定理可得出待定系数与的关系式,因而证明结论。

例1设在上有三阶导数,试证：必存在,使得。文献综述

证令满足

（2-1）

再作辅助函数

 （2-2）

则,由Rolle定理存在,使得

所以,

。（2-3）

又,将泰勒公式等式两端同时一阶导,得

。 （2-4）

比较（2-3）和（2-4）,可得

。 （2-5）

将（2-5）代入（2-1）,即证。

方法二 利用原函数法构造

证由可知,只需证明

即可。而为的一个原函数,

且当时,有

。

因此在上满足Rolle中值定理的条件,故该原函数为拉式定理证明的辅助函数。

该方法构造辅助函数的具体步骤为：

i）用变量替换结论里的；

ii）根据恒等变形将其变成容易知道的积分形式；

iii）用观察或积分法求得其中一个原函数；

iv）移项构造辅助函数。

 由于原函数不止一个,所以构造的辅助函数形式可能也不相同。所以,实际操作时可采用倒推的思想由结论出发寻找合适的辅助函数,即为要构造的辅助函数。

例2函数在上可微,且,,证明：必存在,使得成立。

证由知,令来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

因在上连续,在内可导,且所以

由Rolle中值定理知,,满足而

所以,,

又,即有。

方法三 利用行列式法构造

证设是曲线上的一动点,则的面积为

其中,顶点,,按照逆时针方向排列。

设,令分别等于和,则有即 。

所以,根据Rolle定理易知,至少存在一点,使得

。而将代入上式,得例3 设,,在上连续,在内可导,证明：必有,使成立,并通过该结论说明拉格式定理是其特例。

证作辅助函数